yasuhisa's blog

ボレル集合体に対してもうちょい深める

実解析

昨日の続きね。ボレル集合体についてもうちょい追求しとかないと、ルベーグ測度とかがちゃんと定義できない自体になってしまうから。まず、P17の命題1.6を思い出すところから行こう。

命題1.6「gより生成されるσ-集合体」

gをXのある部分集合族とする。そのときgを含む最小のσ-集合体が存在する。gを含む最小のσ-集合体を $\sigma[g]$ とあらわし、gにより生成されるσ-集合体という。

昨日も勘違いしてたけど、gはあくまで集合体ね。で、それを含む最小のσ-集合体が存在すると。「gを含む最小のσ-集合体を $\sigma[g]$ とあらわし」の記号をとりあえず覚えようか。で、これを使ってボレル集合体を表わすことにする。

まず、ボレル集合体の定義を復習しようか。

$X=R^d$ (d-次元ユークリッド空間)とする。 $R^d$ のすべての開集合を含む最小のσ-集合体を、 $X=R^d$ のボレル集合体と言い、 $\beta(R^d)$ と表わす。

これは昨日のところでいいかな。と、思ったんだけど、あんまりよろしくはなかった。昨日は

開集合やら閉集合の和集合や積集合をどんどん適用していく
それがボレル集合となる
もとのやつは半開区間(これは可測)からできていて、それらの高々加算回の手続きをふんだだけだから、ボレル集合も可測な集合である

ということだった。で、これだとボレル集合は開集合や閉集合とかごちゃまぜな感じなんだけど、上の定義だと「すべての開集合を含む」と書いてある。これは一緒なのか?というところでつまってるけど、これは今度先生に質問させてもらうことにして、とりあえず先に進むことにする。

で、そんなボレル集合体 $\beta(R^d)$ があるわけだけど、 $R^d$ の全ての開集合全体を $O$ で表わすと $\beta(R^d)=\sigma[O]$ である。

これはいいかな。「gを含む最小のσ-集合体を $\sigma[g]$ とあらわし」のところのgが $O$ になっているだけ。「開区間を含む最小のσ-集合体」だからね。

で、今度は $R^d$ の全ての閉区間全体について考えてみる

$R^d$ の全ての閉区間全体を $C$ で表すことにすると、開集合の補集合は閉集合であり、閉集合の補集合は開集合であるから
$\beta(R^d)=\sigma[O]=\sigma[C]$
が成立する。

ええっと、これは何を言ってるんだ?「gを含む最小のσ-集合体を $\sigma[g]$ とあらわし」ということから考えると

全ての開集合を含む最小のσ-集合体(開集合全体から生成されるσ-集合体)
全ての閉集合を含む最小のσ-集合体(閉集合全体から生成されるσ-集合体)

が同じであるということを言っているのか。おい、嘘だろこれ。

「開集合の補集合は閉集合であり、閉集合の補集合は開集合であるから」というのにヒントがありそうだな

これってそんなに自明なことなのかなー?全然分からんぞ、これ。

ヒントになりそうな記述を発見!!

P17の例題1.5が助けてくれそうな気がした。どういうのかっていうと、こういうの。証明はかっとばして、意味するところを読みとることにしてみる。

$X$ を非可算集合とする。 $X$ の部分集合 $A$ で $A$ 自身または $A^c$ が加算集合になるもの全体を $\beta$ とおくと、 $\beta$ はσ-集合体になる。

日本語でおk、ということでちょっとづつ訳していってみるテスト。

さっきのに照らし合わせてみると、ボレル集合体がこの場合の $X$ に当たりそうだな。非可算なのか…?で、その部分集合というのはすべての開集合だったわけだけど、その補集合はすべての閉集合だったりするわけで、それが可算個だとすると、上の場合の $\beta$ になると。で、それがσ-集合体になる。

σ-集合体はσ-集合体でもそれが一緒になるのかなーとか思ったわけだけど、どっかでそれらはユニークだよとか言うのを見た気がするのでたぶん一緒になるんだろう。なんとも分かってないな。。。

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