yasuhisa's blog

第21講でのルベーグ積分

実解析

リーマン積分可能な関数

D上で有界な関数f(x)がリーマン積分可能ならば、ルベーグ積分可能か?また2つの積分の値は一致するか?

というのがメイントピック。

リーマン積分とルベーグ積分

$R^k$ でのルベーグ積分ではなくて、 $R$ でのルベーグ積分についての証明が与えられているよ。

区間[a,b]で定義された有界な関数f(x)がリーマン積分可能とする。このとき、f(x)は[a,b]上でルベーグ積分可能となり、 $(R)\int^b_a f(x) dx = (L)\int^b_a f(x) dx$ が成り立つ。ここで、左辺はfのリーマン積分、右辺はルベーグ積分を表わしている。

広義積分とルベーグ積分

上の定理というのは、有限の区間で、かつ、f(x)が有界な状況を考えていた。でも、統計とか勉強していると(していなくても)有限じゃない区間とかf(x)が有界じゃないものの積分、つまり広義積分もよく登場する。こういう時に上の定理は拡張したりできるんだろうか?

で、広義積分みたいなのを考えると広義積分は存在するけど、ルベーグ積分は存在しないというケースが出てきたりする。その例が紹介されている。

ルージンの定理

$R^k$ の可積分関数を連続関数で近似することを考えよう。可積分関数、可測関数についてはこの付近を参照。

f(x)を $R^k$ の有界な可測関数とする。ある有界集合の外でf(x)は0とする。このとき、任意の正数 $\epsilon$ 、 $\delta$ に対して、可測集合Hと、 $R^k$ 上の連続関数 $\Phi(x)$ が存在して

$m(H) < \epsilon$

$x \notin H \Rightarrow |f(x) - \Phi(x)| < \delta$

が成立する。

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