集合位相入門読書会【順序集合】

第何回か忘れたw。実数とかの大小関係があれば、最大元とかそういうのが定義できるのは分かるんだけど、順序関係を満たすようなものであれば、最大(小)元、極大(小)元、上限、下限などが考えられる的な流れのところだった。

念のために定義を書いておこう。集合Aにおける関係Oが次の3つを満たす時、OをAにおける順序関係にあるという。

Aの全ての元に対してaOa(反射的)
Aの元a、bに対し、aObかつbOaならば、a=b(反対称的)
Aの元a、b、cに対し、aObかつbOcならば、aOc(推移的)

順序関係の例としては

実数の間における大小関係 $\leq$
自然数bが自然数aによって整序される(割り切れる)という整序関係
Mを任意の集合系とし、Mの元A、Bに対し、"AがBの部分集合である" $A \subset B$ という包含関係

などがある。

順序集合、部分順序集合

集合Aと一つの順序関係を組にしたものを順序集合という。 $(A,\leq)$ などのように書く。

順序集合 $(A,\leq)$ の台Aの元や部分集合を、そのまま、この順序集合の元、部分集合と呼ぶ。

最大(小)元、極大(小)元、上限、下限

最大元の定義

Aに一つの元aがあって、Aのいかなる元xに対しても $x \leq a$ が成立するとき、aをAの最大限といい、それをmax Aで表わす。

「aがAの最大元である $\Leftrightarrow \forall x \in A; x \leq a$ 」と同じかな。

max Aやmin Aはいつも存在するとは限らないが、これらが存在する場合、いずれも一意的に定まる

追記
$\exists a \in A,\forall x \in A; x \leq a$ より上のほうがよいらしいです。これだとaが置きかえられてしまうので、とのこと。

極大元の定義

aがAの元で、[tex:a

「aがAの極大元である[tex:\Leftrightarrow \not\exists x \in A;a

max A=aが存在する場合、aがAの極大元であることは定義から明らか(minと極小元の関係も同様)
max Aあるいはmin Aが存在しなくても、Aの極大元、あるいは極小元は存在することがあり、しかもそれが多数存在することもある

追記
[tex:\Leftrightarrow \exist a \in A,\not\exist x \in A;a

上界、下界

最大元、最小元についての例

次のような順序集合を考える。関係は集合の要素であるか、とかそういうことになる。
$(M, \subset) = ( \{ \{ \, \}, \{0\}, \{0,1\} \}, \subset )$
このようにすると、 $\{\,\} \subset \{0,1\}$ 、 $\{0\} \subset \{0,1\}$ 、 $\{0,1\} \subset \{0,1\}$ となっているので、 $\{0,1\}$ が最大元となっていることが確認できる。

追記
前のところだと $\in$ と書いていたけど、順序の公理を見たしていないためだめ。 $\subset$ だと大丈夫。

また、次のような順序集合を考える。
$(M, \subset) = ( \{ \{ \, \}, \{0\}, \{1\} \}, \subset$ )
これには最大元が存在しない。しかし、極大元となるものは存在し、それは $\{0\}$ と $\{1\}$ である。

なぜならば、 $\{0\} \subset x$ となる $x \in M$ は存在しないからである。

また、最小限については存在することが言える。 $\{\,\} \subset \{0\}$ 、 $\{\,\} \subset \{1\}$ となっているので最小限となっている。最小限が存在するので、これは極小元でもある。

上界、上に有界について

この辺こんがらかっていたところ。

aがAの1つの元で、Mのすべての元xに対して、 $x \leq a$ が成り立つとき、aをMのAにおける上界という。

例えば、Aを実数全体の集合、Mを0-1区間の開集合だとする。そうするとa=1はMのAにおける上界の一つになっている。上界の一つと書いたのは、上界はまだまだ山のようにあるからである。aはAのほうの元であればいいんだから、a=1.1とかa=1.5とかに対しても、Mのすべての元xに対して、 $x \leq a$ が成立しており、これらはaMのAにおける上界となっている。P92などではこの上界全部の集合のことを $M^*$ と書いてある。また、Mの上界が(少なくとも1つ)存在するとき、MはAにおいて上に有界であるという。下界、下に有界も同様に定義される。

Mが上に有界であっても、max Mが存在するとは限らない場合などがあることに注意しよう。

最小上界、上限について

Mが上に有界であることと、 $M^* \neq \phi$ であることは同値である。 $M^* \neq \phi$ であって、しかも $M^*$ に「最小元」が存在するとき、それをMのAにおける最小上界または上限(supremem)といい、sup Mで表わす。

上界全体の集合のほうを考えてあげて、それの最小元を考えるのかー。なるほど。"上"のほうの集合の下を考える。Mのほうで考えると都合が悪いから、 $M^*$ のほうで考えてあげるのね。 $M^*$ のほうにも最小元が存在しなかったら、上限は存在しなくなるな。 $A = \mathbf{R} - \{1\}$ 、 $M = (0,1)$ のような場合だと、min $M^*$ の存在が確保できない。

これらを整理すると、上に有界であるようなAの空でない部分集合Mについて、次の3つの場合があるということになる。

max Mが存在する
max Mは存在しないが、sup Mは存在する
sup Mは存在しない(明らかにmax Mも存在しない)

例2

これはなかなか面白い例だった。有理数を全体集合として、その部分集合が上に有界であるが、上限は存在しない例だったんだけど、その後で、実数の場合を考えている。実数の完備性と関連があるところであった。

実は、順序集合Rにおいては、その任意の空でない上に有界な部分集合が必ず上限を持つ(同様に、任意の空でない下に有界な部分集合が必ず下限を持つ)ことが知られている。これがいわゆる"実数の連続性"とよばれる性質にほかならないのである。

結構感動した。やっぱ実数の完備性のところまで読みすすめていかないとな。

例3

最初は何言ってるかよく分からなかったので、例を出して考えることにした。 $M =\{\{1\},\{2,3\},\{1,4\},\{3,5\},\{1,2,3,4\}\}$ $N=\{\{1\},\{2,3\},\{1,4\}\}$ とする。この時、 $\cup N = \{1,2,3,4\}$ である。この時、これは順序集合MにおけるNの上限となっている。集合の包含関係において順序関係を満たしているかどうかは、P87の定義に戻って確認すればよいですね。

p20

$\forall N \in \mathfrak{N} (N \subset \cup \mathfrak{N})$

なので、p92 の(i) に相当する「すべての N in \mathfrak{N}についてN⊂\union \mathfrak{N}」が成り立つ

(ii) は…これは(2.18)が支持する内容ですね

(ii)はどこ

p92のものと対応を付ければおk

$M = \{\{1\},\{2,3\},\{1,4\},\{3,5\},\{1,2,3,4\}\}$ 、 $N=\{\{1\},\{2,3\},\{1,4\}\}$

$\cap N = \{\,\}$

Mに空集合がないので、下限ではない

$N = \{\{1\}, \{1,2\}, \{1,3\}\}$

$\cap N = \{1\}$

{}

下界の中で一番大きいことを考える

$\mathfrak\{M\} = \{\{\,\}, \{1\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1,4\}, \{3,5\}, \{1,2,3,4\}\}$

$\mathfrak\{N\} = \{\{1,2\}, \{1,2,3\}, \{1,2,3,4\}\}$

$\cap \mathfrak{N} = \{1,2\}$

$\forall N \in \mathfrak{N} ( \{\,\} \subset N, \{1\} \subset N, \{1,2\} \subset N)$

だから下界全体の集合は $\{\{\,\}, \{1\}, \{1,2\}\}$

上界のほうは小さいほうを探してきてやる
下界のほうは大きいほうを探してきてやる

inf N = {}
$\inf \mathfrak{N} = \{1,2\}$

Mの $A_1$ における上限は存在せず、上界も存在しない

$M = \{\{1,2\}, \{1,2,3\}, \{1,4\}, \{2,5\}\}$
$A_1 = \{\{1,2\}, \{1,2,3\}, \{1,4\}, \{2,5\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4,5\}\}$

$A_1$ に上界があり、上限も存在する

$M = \{\{1,2\}, \{1,2,3\}, \{1,4\}, \{2,5\}\}$
$A_1 = \{\{1,2\}, \{1,2,3\}, \{1,4\}, \{2,5\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{1,2,3,4,5,6,7\}\}$

MがAの中に上限を持たなくても、 $A_1$ の中には上限を持つことがある

$A = \{\{1,2\}, \{1,2,3\}, \{1,4\}, \{2,5\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{1,2,3,4,5,6,7\}, \{1,2,3,4,5,7,8\}, \{1,2,3,4,5,6,8\}\}$

$M \subset A_1 \subset A$ の例できた

Aの上界から探す

$\{\{1,2,3,4,5,6,7\}, \{1,2,3,4,5,7,8\}, \{1,2,3,4,5,6,8\}\}$ が上界

比較が可能ではない

$M \subset A_1 \subset A$ で、A_1に上限があるがAに上限がない例

$M = \{\{1,2\}, \{1,2,3\}, \{1,4\}, \{2,5\}\}$
$A_1 = \{\{1,2\}, \{1,2,3\}, \{1,4\}, \{2,5\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{1,2,3,4,5,6,7\}\}$
$A = \{\{1,2\}, \{1,2,3\}, \{1,4\}, \{2,5\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{1,2,3,4,5,6,7\}, \{1,2,3,4,5,7,8\}, \{1,2,3,4,5,6,8\}\}$
Aの上界から探す。
$\{\{1,2,3,4,5,6,7\}, \{1,2,3,4,5,7,8\}, \{1,2,3,4,5,6,8\}\}$ が上界、比較が可能ではないため(この3つの要素で包含関係のようなものはないため)、Aに上限が存在しない。