集合位相入門読書会第二回

id:witchmakersと。今回はP20くらいからP32まで進んだ。"対応"と"写像"がキーポイント。

対応の概念

P23の定義より。

A、Bを2つの集合とし、ある規則 $\Gamma$ によって、Aの各元aに対してそれぞれ1つずつBの部分集合 $\Gamma(a)$ が定められているとする。そのとき、その規則 $\Gamma$ のことをAからBへの対応といい、Aの元aに対して定まるBの部分集合 $\Gamma(a)$ を $\Gamma$ によるaの像という。

解析で言うところの関数と結構ややこしい。解析で言うところの関数はあとで出てくる写像なんだけど、対応は微妙に違う。プログラミングで言うところの戻り値が元ではなく、部分集合であることに注意をしなければならない。

例

id:witchmakersが考えてくれた例。有権者={1,2,3,4,5} 、候補者={a,b,c}とする。すると対応として $\Gamma(1)=\{a\}$ 、 $\Gamma(2)=\{b\}$ 、 $\Gamma(3)=\{a,c\}$ 、 $\Gamma(4)=\{\phi\}$ 、 $\Gamma(5)=\{a,b,c\}$ のようなものを考えることができる。部分集合が返ってきていることに注意。

P24にはこんな図がある。図は超適当なんだけど、ある元aに対して、部分集合が返ってきている様子を図で表わしたもの。

一方、(後述する)写像を図に表わすとこういう感じ(P29)。Aのある元aに対して、Bのある元bを返している。 $\Gamma(a)$ はBのただ一つの元からなる集合である(つまり一点みたいなもん)となることが上の場合と対象的であることに注意しよう。

グラフについて

$G(\Gamma) = \{(a,b). | a \in A, b \in \Gamma(a)\}$ みたいなのがグラフで、対応とそのグラフは一意に決められるとあった。なんか複雑なもので、「一意に決まるんなら対応だけあれば、グラフとかいらなくね?」と思ったんだけど、さっきの有権者とかの例だとグラフを使えば $G(\Gamma) = \{(1,a), (2,b), (3,a), (3,c), (5,a), (5,b), (5,c)\}$ という感じで非常に簡潔に書ける。 $G(\Gamma)$ とあって、 $\Gamma$ 出てこなくね?と思ったんだけど、分かった。 $\Gamma$ は規則を与えるというところだけ残して、Gの中では無名関数になってしまっているのだ。そういうことだったのか。

写像

P27の定義より。AからBへの対応 $\Gamma$ は次の性質を持つ時、特にAからBへの写像と呼ばれる。

Aの任意の元aに対して、 $\Gamma(a)$ はBのただ一つの元からなる集合である。

何回も言ってるけど、引数に元で戻り値も元なのが写像。この辺のところが次の付近にきいてくる。

写像に関する諸概念(写像による像および原像)

この辺で結構ややこしい操作とかが出てくる。

AからBへの一つの写像fが与えられたとする。PをAの任意の部分集合とするとき、Pを元aのfによる像f(a)を全部あつめてできる集合、より正確に言えば、f(a)=bとなるPの元aが(少なくとも一つ)存在するようなBの元b全体からなる集合を、fによるPの像といい、f(P)で表わす。すなわち $f(P) = \{b | \exists a \in P (f(a) = b)\}$ 。