集合位相入門読書会第五回

前回は選出公理というちょっと色々ありそうな公理のところまでやったんだけど、その続きから。なんとか第一章は終わったんだけど、商集合がよく分かっていないので、来週ちょっと復習しようと思う。

写像に関する一定理

ここで定理7というのがよく分からなかった。正確に言えば、どういう風役に立つのかが想像できなかったと言えばいいのかな。

この定理7はP49の系「A、Bを2つの集合とするとき、AからBへの単車が存在する必要十分条件は、BからAへの全射が存在することである」を証明するためにあるのなあ、という感じで理解したんだけど、この系が証明できると何がうれしいかやっぱり分からなかった。

多変数の写像

P49の最初の定義域Aが直積 $A_1 \times \cdots \times A_n$ の部分集合である、とあるんだけどそれがどういうものかの確認からやっていった。簡単にするために $A_1 = \{1,2,3\}$ 、 $A_2 = \{a,b,c\}$ とする。この時直積 $A_1 \times A_2$ は $\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)\}$ である。で考えるのはAの元aは $(a_1,\cdots,a_n)$ の形をしている、とあるんだけど、実際に書き出してみると(1,a)みたいな形をしているので、なるほどといった感じ。こう見るとfはn次元ベクトルを入力に取る関数なんだなと思ったけど、一般の集合を考えてるので、次元とかはまだ考えないほうがいいんでないか、というところだった。

「また、Xを一つの集合とするとき、 $\mathfrak{P}(X)$ の元A、Bに対して $\phi(A,B) = A \cup B$ 、 $\rho(A,B)=A \cap B$ とおけば、 $\phi,\rho$ は $\mathfrak{P}(X) \times \mathfrak{P}(X)$ から $\mathfrak{P}(X)$ への写像となる」というところも何か分かってなかったので例を考えた。

$\mathfrak{P}(X) = \{\{\quad\},a,b,c,\{a,b\},\{a.c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$ みたいなのを考える。 $A = \{a,c\}$ 、 $B = \{a,b,c\}$ とすると、 $A \cup B = {a,b,c}$ 、 $A \cap B = {a,c}$ となるが、これは $\mathfrak{P}(X)$ の要素となっている。なるほど。

関係の概念

「Rを集合Aにおける一つの関係とするとき、aRbが成立するようなa、bの組(a,b)の全体は、 $A \times A$ の一つの部分集合を形づくる。この集合を関係Rのグラフといい、G(R)で表わす。すなわち $G(R)= \{(a,b) | a \in A,b \in A,aRb\}$ 」と定義されていた。で、P52の(ii)みたいあな3つあるやつはどう表現すればいいんだろうねー、という話になったんだけど $G(R)=\{(x,y,z)|x \in R, y \in R,z \in R ,R(x,y,z)\}$ と書けそうだ、という感じになった。関係のRと実数のRが混ってあれですが、コンテキストで読んでくださいwww。