Options, Futures, and Other Derivatives勉強会第六回予習

第五回、第六回は僕が担当の箇所。Chapter4のInterest Ratesのところをやってます。先々週*1は

金利の種類
連続複利の導入
Zero Rates
債券のpricingの方法
Duration&Convexity

などをやっていきました。今週は、スライドの16枚目のForward Ratesの付近から。

forward rates

forward ratesは現在の利子率の期間構造の意味を含む将来のzero rateである
- んん?

世の中に存在する金利は、必ず「スポットレート」か「フォワードレート」かのどちらかに分類される。フォワードレートは、将来の二つの時点の間に適用される金利のことをいう。
たとえば、現在、1年後、2年後、3年後と4つの時点を考えたとき、それらの4つの時点の間に適用される金利は、6通り考えられる。現時点ではなく、将来時点をスタートラインとする金利がフォワードレートである。
http://www.nomura.co.jp/terms/english/f/fowardrate.html

Rで検算しておいた

一致することを確認。2年のzero rateと1年のzero rate+2年のforward rateの組み合わせが等しいことなどなど。連続複利の計算でexpが出てくるあたりは4.2式の付近を復習すること。

> 100*exp(0.03)
[1] 103.0455
> 
> 100*exp(0.04*2)
[1] 108.3287
> 100*exp(0.03)*exp(0.05)
[1] 108.3287
> 
> 100*exp(0.046*3)
[1] 114.7976
> 100*exp(0.03)*exp(0.05)*exp(0.058)
[1] 114.7976
> 
> 100*exp(0.05*4)
[1] 122.1403
> 100*exp(0.03)*exp(0.05)*exp(0.058)*exp(0.062)
[1] 122.1403
> 
> 100*exp(0.053*5)
[1] 130.3431
> 100*exp(0.03)*exp(0.05)*exp(0.058)*exp(0.062)*exp(0.065)
[1] 130.3431

計算しているうちに分かってきた。これと同等だ。

> 100*exp(0.03)
[1] 103.0455
> 
> 100*exp(0.04*2)
[1] 108.3287
> 100*exp(0.03)*exp(0.05)
[1] 108.3287
> 
> 100*exp(0.046*3)
[1] 114.7976
> 100*exp(0.03)*exp(0.05)*exp(0.058)
[1] 114.7976
> 100*exp(0.04*2)*exp(0.058)
[1] 114.7976
> 
> 100*exp(0.05*4)
[1] 122.1403
> 100*exp(0.03)*exp(0.05)*exp(0.058)*exp(0.062)
[1] 122.1403
> 100*exp(0.046*3)*exp(0.062)
[1] 122.1403
> 
> 100*exp(0.053*5)
[1] 130.3431
> 100*exp(0.03)*exp(0.05)*exp(0.058)*exp(0.062)*exp(0.065)
[1] 130.3431
> 100*exp(0.05*4)*exp(0.065)
[1] 130.3431

Formula for Forward Rates

ふぉわーどれーとの公式
- $R_F = \frac{R_2T_2 - R_1T_1}{T_2 - T_1}$
導出してみる
- 図を書いてみると分かりやすい
連続複利がで与えられたことを考えると
- $e^{R_1T_1}e^{R_F(T_2-T_1)}=e^{R_2T_2}$

Instantaneous Forward Rate

満期TにおけるInstantaneous Forward Rateとは、T期から始まるめちゃくちゃ短かい時間に適用されるForward Rateのこと、と書いてある
RをT年のrate(この場合のrateってなんだ?)として
- 導出までの過程を書いていこう

上の公式は4.6式のように、と変形できる
- T1とT2の間では、 $R_2 > R_1$ ならばzero curveは上昇していく→ $R_F > R_2$ となる
- 同様に、ならばzero curveは下がっていく→となる
  - 符号を見るんだよ!!

ここで、T2をT1に近づけた時の極限を考える
- $R_F = R_2 + T_1\frac{(R_2 - R_1)}{T_2-T_1}$ と変形しておいたほうが分かりやすいかな
(T2をT1に近づけていく時の)共通の2つの値をTとする
Rは満期Tでのzero rateとする
すると、 $R+T\frac{dR}{dT}$ が出てくる…よね?

Upward vs Downward Sloping Yield Curve

上でちょっと出てきた話
上の話だと、以下のことは分かる
- upwardの時、Fwd Rate > Zero Rate
- downwardの時、 Zero Rate > Fwd Rate
Par Yieldとの関係はどうやって導こうか…?
- 結局よく分からなかった。。。

forward rate agreements

日本語では「金利先物取引」と呼ばれる。

金利先渡取引は、基本的に金利先物取引と同じだが、いくつか重要な違いがある

そもそも金利先物取引って何?

たとえば東京金融取引所に上場されているユーロ円3ヵ月金利先物は、清算日をスタートとする円3ヵ月物金利の先物です。金利の先物とは、通常の先物同様、事前に決めた期日に、事前に決めた条件で、資金を貸し借りする契約です。通常の先物は契約価格が呼び値に使われますが、金利先物の場合、その貸し借りの金利が呼び値に使われます。東京金融取引所のユーロ円3ヵ月物金利先物の場合、3、6、9、12月の清算日の契約が取引されており、たとえば2002年3月物の先物を買えば、2002年3月に借入・貸付、2002年6月返済の金利が低下した場合に利益になる取引、先物を売れば、逆にその金利が上昇した場合に利益になる取引です。決済は、実際に貸し付け・借り入れを行なうわけではなく、差金決済で行われます。
金利先物取引とは？ | 投資信託の投信資料館：投資信託・ETF（上場投資信託）・不動産投資信託のFAQが充実

東京金融取引所上場のユーロ円3ヶ月金利先物2002年6月限を、99.925で100枚買い建てした。4ヶ月後同先物を99.950で売却した。
先物ですから、売却代金は受け取りません。ただし証拠金を差し入れる必要があります。取引金額ですが、次のような考え方をします。ユーロ円3ヶ月金利先物の取引単位は、1枚=想定元本1億円ですから、この取引は想定元本100億円の取引になります。
東京金融取引所上場のユーロ円3ヶ月金利先物は差金決済です。したがって売却時に損益を決済して取引は終了することになりますが、この損益については次のような計算式で求められます。
1,250*(99.950-99.925÷0.005×100 = 625,000円
この式については次のように考えます。まず、約定金利(当事者の契約によって定められる利率(金利)のこと)は100−約定価格で計算されます。つまり、100-99.925 = 0.075%が先物購入時の約定金利です。一方、約定金利0.075%は年利表示で、取引対象の金利は3ヶ月物ですから0.075%で借り入れや貸し付けをした場合に、貸し借りした金額に対して支払われる金利は1/4年分、つまり0.075%÷4 = 0.01875%です。売却時についても同じ計算をしますと、(100-99.95)÷4=0.0125%になります。100億円について(0.01875%−0.0125%)×100,000,000×100=625,000円だけ利息を多く稼げたことになります。上記の式は、結局、この「金利先物取引をすることで、どれだけ支払・受取利息が増減したか」を計算していることになります。
金利先物取引とは？ | 投資信託の投信資料館：投資信託・ETF（上場投資信託）・不動産投資信託のFAQが充実

金利先渡取引ではどう違うのか?

第一に、金利先渡取引は取引所ではなく店頭で行なわれます。つまり、先物のように取引所を通して取引を行なうのではなく、銀行などを相手に取引を行ないます。
第二に、多くの場合、金利先渡取引には証拠金はありません。金利先物は、取引当初に証拠金を差入れ、日々値動きで発生する損益によって、キャッシュフローが発生します。すなわち、先物契約を建てたままでも、日々利益が発生すればキャッシュとして受け取ることができ、損失はキャッシュで支払わなければなりません。一方先渡取引の場合、通常証拠金制度はなく、また損失や利益は、契約の最終的な決済までキャッシュフローにはなりません。これは信用リスクの観点から、先物取引と先渡取引に大きな違いを与えます。先物取引は、いわば日々決済されており、評価損益は存在しません。したがって、取引に発生する信用リスクはほぼ0です。一方先渡取引では、評価損益は契約の清算日まで決済されず、評価益の生じている方は取引相手がディフォルトした場合、その評価益分だけ取りはぐれることになりますから、信用リスクを伴う取引であると言えます。これは先渡契約の価格に、しばしば影響を与えます。
第三に、金利先渡取引は店頭取引ですから、清算日など、取引に係わる双方が合意すれば、自由に設定することができます。
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金利の期間構造の理論

証券投資論のP244から書いてあるところ。

金利ないしその期間構造がいろんな要因によって将来変動するとしたら、投資家はそれがどうなるかを予想し、かつそうした予想に従った時それぞれの年限の債券はどんなリターンをもたらすかを検討して、各債券を売買するはずである。したがって、そうした結果として成立している各年限の債券価格、すなわち金利の期間構造には、投資家の予想やリスクリターンの選好が反映されていると考えられる。金利の期間構造の理論とは、投資家の選好や行動に一定の仮説をおいて、実際に観察される期間構造の形や変動を説明したり、それから逆に投資家の集約的な予想を読み取ろうというものである。

期待仮説

options, futuresではExpectations Theory
- forward rateは、将来のゼロレートの期待値と等しいとする理論
- 金利の期間構造の理論では最も基本的なもの
将来j気におけるk期間金利(スポットレート)の期待値が現在のforward rateに一致
- $E(r_{j,j+k}) = f_{j,j+k}$