証明は本に載ってるので、補題を取り敢えず書いてみる。mは測度ね。
の時
が成立する。
極限と測度の操作の間の大小関係を表しているわけだな、ふむふむ。これは割りと直感的な感じだ。
集合列が収束する、とは
ちょっと準備。P82にあるんだけど、集合列が成立することである。この一致した値のことを
で、これを使って
集合列
が収束する、すなわち
が存在するとき、ファトゥーの補題の両端が一致する。
ええっと、と
が一致するんだから、その測度を取った
と
も一致する、ということか。ワンステップおかないと分かんなかった。
で、両端が一致するので、(たぶんはさみうちを使って)、全ての等号が成立する。また、特にが成立する。
を集合列と見なせば、集合列の収束より、
が存在する、ということが分かる。以上のことをまとめると、次のようなことを言える(P83)。
、かつ、
が存在すれば
が成立する。
おお、ある条件下では、極限を取ったものの測度と測度の極限が一致する、ということか。これはなかなかすごいことじゃないのか。これは美しい。