ファトゥーの補題 - yasuhisa's blog

証明は本に載ってるので、補題を取り敢えず書いてみる。mは測度ね。

$m(\cup^\infty_{n=1}A_n) < \infty$ の時
$m(\liminf_{n \to \infty} A_n) \leq \liminf_{n \to \infty} m(A_n) \leq \limsup_{n \to \infty} m(A_n) \leq m(\limsup_{n \to \infty}A_n)$
が成立する。

極限と測度の操作の間の大小関係を表しているわけだな、ふむふむ。これは割りと直感的な感じだ。

集合列が収束する、とは

ちょっと準備。P82にあるんだけど、集合列 $\{A_n\}$ が収束するとは
$\limsup_{n \to \infty}A_n = \liminf_{n \to \infty}A_n$
が成立することである。この一致した値のことを $\lim_{n \to \infty}A_n$ と書く。

で、これを使って

集合列 $\{A_n\}$ が収束する、すなわち $\lim_{n \to \infty}A_n$ が存在するとき、ファトゥーの補題の両端が一致する。

ええっと、 $\limsup_{n \to \infty}A_n$ と $\liminf_{n \to \infty}A_n$ が一致するんだから、その測度を取った $m(\liminf_{n \to \infty} A_n)$ と $m(\limsup_{n \to \infty}A_n)$ も一致する、ということか。ワンステップおかないと分かんなかった。

で、両端が一致するので、(たぶんはさみうちを使って)、全ての等号が成立する。また、特に $\liminf_{n \to \infty} m(A_n) = \limsup_{n \to \infty} m(A_n)$ が成立する。 $m(A_n)$ を集合列と見なせば、集合列の収束より、 $\lim_{n \to \infty}A_n$ が存在する、ということが分かる。以上のことをまとめると、次のようなことを言える(P83)。