第三講直線上の完全加法性の様相

ただのメモですよ。しかも、間違いだらけですよっと。

有理数の性質として

有理数が稠密に分布している
有理数は、数直線上、至るところ稠密に分布している

などが再掲(?)されていた。稠密というのは、数直線上の任意の点を取ったとき、その点のどんな近くにでも、有理数が存在しているよっていうこと。

有理数を囲む集合

有理数を囲む微小区間の集合をかきあつめてきて、それの加算無限個の和集合を取ったものの測度は0とかになっちゃうよ!!0-1区間での例が示してあったけど、有理数全体の集合の測度も0になってしまう。なんてこったい。

完全加法性 $\sum^\infty_{n=1}m(J_n)=m(I)$ を認めるならば、Jの測度は求められて、 $m(J)=\sum^\infty_{n=1}m(J_n)=2\epsilon$ となる。しかし、この正数 $\epsilon$ はどんな小さくてもよいということになると測度は0であると結論付けられてしまう。

測度0の集合

長さの総和がいくらでも小さくなるような、高々可算個の区間列でおおえるとき、これを測度0という。

ちゃんとした定義

数直線上の集合Sが次の性質を持つとき、Sを測度0の集合と言う。

どんな小さい正数 $\epsilon$ を取っても、高々可算個の区間列 $I_1,\cdots,I_n,\cdots$ を適当に選ぶと
(i) $S \subset \cup^{\infty}_{n=1}I_n$
(ii) $\sum^{\infty}_{n=1}m(I_n) < \epsilon$
とできる。測度0の集合をまた零集合とも言う。