第13講可測集合の周辺

久し振りにルベーグ積分を勉強する。

二つの可測性の一致

ルベーグ測度について、話が滑らかに進んだのは、可測性の定義にカラテオドリのものを採用したから。カラテオドリの定義を採用したことにより、数学的な設定としてはよくなったが、面接という図形に密着した幾何学的な感触は損なわれてしまった。

そういうわけで、

を合流させていくことを考えよう。

久々すぎてカラテオドリの意味での可測とかルベーグの意味での可測とかすら分からなくなっているという終わっている状況。

Sがカラテオドリの意味での可測であるとは、すべての $E \subset R^k$ に対して
$m^*(E)=m^*(E \cap S) + m^*(E \cap S^c)$
が成立することである。

今見ると普通じゃねーかと思ってしまったりしてしまう。どういうまずい状況があったんだっけか。カラテオドリの意味での可測とかルベーグの意味での可測とかは8章にあるらしいが、とりあえず飛ばすことにする(ぉ。

で、この式は $m^*(S)=m_*(S)$ を示している。ええっと、内測度と外測度が一致するってことか。で、これが言えるとルベーグの意味での可測であるとも言える…んだっけか。とりあえず一致するとルベーグの意味での可測であるということにしておこう。[あとで調べる]。

追記
P43に書いてあった。ルベーグ可測な集合の定義らしい。内測度と外測度が一致することがルベーグ測度の定義らしい。あとで思い出す。

で、同値であることを言うので、逆方向も成立することを言う。ルベーグの意味で可測だったらカラテオドリの意味でも可測であるということですね。それを言う。逆方向を言うためには等側包と言う読み方も分からないのが何か出てきた。これ自体はP91とかP92とかに出てきている。

が、分からない。

Sを $R^k$ の有界な集合とする。ジョルダンのように、有限個の半開区間だけを用いて、Sを外側からと、内側からおおって、その面積の極限として、Sを外から測ったと内から測ったとき、それはルベーグ測度の観点から見た時、何を測ったことになっているんだろうか?

面積と測度の関係性とかについて書いてあるらしい。

で、ジョルダンの意味での内測度とか外測度とかがまた出てくるんだけど、実はこんな命題が成立するらしい(P97)。

Sの閉包を $\bar{S}$ 、Sの内点の集合を $S^{o}$ とすると $|S|^*=m(\bar{S})$ 、 $|S|_*=m(S^o)$ が成立する。

で、内包とか内点ってのは集合とか位相の言葉らしくってゆとりの俺にはよく分からないっぽいんだけど、説明自体はP97とかに書いてある。そこで出てくる集積点とかってのはこの辺が詳しい。

で、この二つを証明したら、何かこんな定義が $m(\bar{S}-S^o)=0$ が成立するということらしい。これが成り立つと一体何に役にたつのかがよく分かんない。