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Rを使った統計勉強法【中心極限定理編】

R Tsukuba.R 勉強会 統計学

Rを使った統計の勉強法

  • 統計学の理論を、Rを使って本当に成立するか実験してみる
  • 「なんで成立するのか」は置いといて、「どういうことを言っているのか」を体感する
    • 「どういうことを言っているのか」を理解できれば、証明が何を言っているのかの理解しやすいかも

中心極限定理とはなんぞや

平均値\mu^{*}、分散\sigma^{2*}を持つ、任意の分布に従う乱数列x_1,\cdots,x_nがあるとき、その平均値\bar{x_n}=\frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{n}の確率分布はnが大きくなる時、平均値\mu^{*}、分散\sigma^{2*}/nである正規分布に収束する。

すなわち\frac{\bar{x_n}-\mu^{*}}{\sigma^{*}/\sqrt{n}}は、nが大きい時、標準正規分布に従うとみなしてよい。

要するに

  • 何かしらの乱数があって
  • それをたくさん持ってくる
  • で、平均を取ると
  • 正規分布っぽくなるよ

正規分布

次の式で表わされる確率密度関数のこと
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})

特徴

  • 左右対称
  • つりがね状の曲線
plot(function(x,mu=0,sigma=1){1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-mu)^2/2*sigma^2)},-3,3,ylab="確率密度",main="正規分布の確率密度関数")


  • plot(関数,範囲)のような形で関数をplotできます

muはmodeを変化させるパラメータ

norm <- function(x,mu=0,sigma=1){1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2))}
par(mfrow=c(3,1))
plot(function(x){norm(x,mu=0,sigma=1)},-10,10,ylab="確率密度",main="正規分布の確率密度関数")
plot(function(x){norm(x,mu=3,sigma=1)},-10,10,ylab="確率密度",main="正規分布の確率密度関数")
plot(function(x){norm(x,mu=5,sigma=1)},-10,10,ylab="確率密度",main="正規分布の確率密度関数")


sigmaは分布のすそのを決めるパラメータ

par(mfrow=c(3,1))
plot(function(x){norm(x,mu=0,sigma=1)},-10,10,ylab="確率密度",main="正規分布の確率密度関数")
plot(function(x){norm(x,mu=0,sigma=2)},-10,10,ylab="確率密度",main="正規分布の確率密度関数")
plot(function(x){norm(x,mu=0,sigma=3)},-10,10,ylab="確率密度",main="正規分布の確率密度関数")


確認

  • 何かしらの乱数があって
  • それをたくさん持ってくる
  • で、平均を取ると
  • 正規分布っぽくなるよ

一様乱数で確認

  • 一様分布はこんなの
    • 離散だと、さいころとか
plot(dunif,-1,2,ylab="確率密度",main="一様の確率密度関数")


  • Rで一様乱数
runif(100)
par(mfrow=c(3,1))
hist(runif(10))
hist(runif(100))
hist(runif(1000))


乱数の平均をいっぱい作る

  • 100個の一様乱数の平均を100個作る
m <- c()
m
for(i in 1:100){
  m[i] <- mean(runif(1000))
}
m
  • めんどくさい人はこんなのどうぞ
    • applyファミリーの使い方はあとで
sapply(seq(100),function(x){mean(runif(100))})

確認

  • 何かしらの乱数があって
  • それをたくさん持ってくる
  • で、平均を取ると
  • 正規分布っぽくなるよ
  • 一様乱数の平均をたくさん取るところまではきた
  • あとは、このたくさんある平均が正規分布に従っているかを確認すればok
  • ヒストグラムで確認しよう
par(mfrow=c(2,2))
hist(sapply(seq(100),function(x){mean(runif(3))}),xlim=c(0,1))
hist(sapply(seq(100),function(x){mean(runif(5))}),xlim=c(0,1))
hist(sapply(seq(100),function(x){mean(runif(10))}),xlim=c(0,1))
hist(sapply(seq(100),function(x){mean(runif(100))}),xlim=c(0,1))
  • 段々平均に寄ってくる


  • 分かること
    • nを増やしても平均は変わってない
      • まあ、当たり前か
    • nを増やすと分散が小さくなっていく

戻ってみよう

  • お、なんか分かる気がする?

平均値\mu^{*}、分散\sigma^{2*}を持つ、任意の分布に従う乱数列x_1,\cdots,x_nがあるとき、その平均値\bar{x_n}=\frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{n}の確率分布はnが大きくなる時、平均値\mu^{*}、分散\sigma^{2*}/nである正規分布に収束する。

後半に行ってみよう

すなわち\frac{\bar{x_n}-\mu^{*}}{\sigma^{*}/\sqrt{n}}は、nが大きい時、標準正規分布に従うとみなしてよい。

mu <- 1/2
sigma <- 1/12
n <- 100
(sapply(seq(1000),function(x){mean(runif(n))}) -mu) / (sigma/sqrt(n))
hist((sapply(seq(1000),function(x){mean(runif(n))}) -mu) / (sigma/sqrt(n)))

f:id:syou6162:20161128132406p:plain

正規分布っぽいね!

  • 疑り深い人がいるかもしれない
  • 「左右対象で、つりがね型っぽいけど本当に正規分布なのかよ?」
  • 「コーシ分布とかかもしれねーじゃん」
    • コーシー分布というのは、平均値を持たない恐ろしい(?)分布
    • 期待値が発散してしまう→裾野が長い

コーシー分布

正規分布に従っているか確かめよう

  • 正規分位点分位点プロット
  • qqplotとも呼ばれる

「分位点プロット」とはどういうものか

  • 仕組みは簡単
  • 2つの標本があって、その分布が同じものかどうか
  • 「ある標本を小さい順に並び変えたもの」、「もう一つの標本の小さい順に並び変えたもの」を用意する
  • 小さい順にそれぞれ取っていって、散布図を描いたもの
  • 直線になれば、二つの分布は同じである、と見なす

正規分位点分位点プロット

  • 「もう一つの標本」のほうに正規乱数を持ってきたもの
(sapply(seq(1000),function(x){mean(runif(n))}) -mu) / (sigma/sqrt(n))
rnorm(1000)

sort((sapply(seq(1000),function(x){mean(runif(n))}) -mu) / (sigma/sqrt(n)))
sort(rnorm(1000))

plot(sort((sapply(seq(1000),function(x){mean(runif(n))}) -mu) / (sigma/sqrt(n))),sort(rnorm(1000)))

f:id:syou6162:20161128132451p:plain

  • qqplot
qqplot((sapply(seq(1000),function(x){mean(runif(n))}) -mu) / (sigma/sqrt(n)),rnorm(1000))

「二つの分布を比較」ではなく、「ある分布が正規分布をしているか」を調べたい

  • qqnorm
qqnorm((sapply(seq(1000),function(x){mean(runif(n))}) -mu) / (sigma/sqrt(n)))
qqline((sapply(seq(1000),function(x){mean(runif(n))}) -mu) / (sigma/sqrt(n)))

f:id:syou6162:20161128132518p:plain

まとめ

  • 中心極限定理が「どういうことを言っているのか」を理解できた
  • 統計理論が「どういうことを言っているのか」を理解するのに、Rがあると便利!
  • 今回は一様乱数と正規乱数しか使っていないけど、様々な分布に従う乱数等が用意されている

統計学入門 (基礎統計学)

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