ボレル集合体とはなんぞや

自分用のメモなので気にしないでください><。

リーマン積分可能、ということはあんまり広くないらしい

リーマン積分可能のであるための必要十分条件は、上積分と下積分が一致すること。これは大体よさそうな気がするんだけど、思っている以上にこれは条件がきついというか一般性がないようである。

有理数なら1、無理数なら0を取るようなindicator functionを考える。これは0-1区間においてリーマン積分可能ではない。無理数および有理数の集合はどちらも稠密であることから上積分は1、下積分は0となってしまう。ということでリーマン積分できないということになる。

一次元集合の長さ

indicator functionを定義して、その関数がR上で広義積分可能であるならば、長さ確定集合であるという。

有限個の長さ確定集合が与えられて、それぞれの積集合が空集合であるならば全体の和集合も長さ確定で、それぞれの長さの和で表すことができる。この性質を有限加法性と言う。

カントール集合

0-1区間を3等分してやって、どんどん小さくなるんだけど、それの積集合はなんと実数全体と同じ濃度であるというびっくりな集合のやつ。これは積分可能で長さ0の集合になったりする。

で、その後は有理数全体を囲うような開集合を考えた例が出てきて、そいつは何やら計算をしていくと長さが確定ではない集合となってしまう。

ルベーグ測度

上で見た通り、Rの部分集合の長さはその部分集合のindicator functionの広義積分によって定義されていた。なんだけど、その長さが確定している集合は結構限定されたもので、有界な閉集合や開集合も一般には長さ確定の集合にはならない。

こりゃ困ったねー、ということなんだけど長さの概念を拡張することができれば、結構一般的な集合についても長さが定義できてハッピーだね、ということで長さの概念の拡張について考える。また、開区間、閉区間だけでなく、半開区間とかの概念をおっきくしたような(なんだこの言い方は)ボレル集合についても長さの概念を適用できるようにしていこう。

で、そんなこんなで拡張された長さの概念のことを(一次元)ルベーグ測度と呼ぶことにしよう、という流れで進んでいく。

で、大体分かってきた集合体とかσ-集合体の定義とか例が書いてある。例には「最小とか最大のσ-集合体はどんなの?」とかそういうやつ。

ボレル集合体

ボレル集合体というのは、 $R^d$ のすべての開区間を含む最小のσ-集合体。なんだそりゃ。

最小のσ-集合体

とりあえず最小のσ-集合体、というのを確認しよう。まず $\beta_0=\{X,\phi\}$ とおくと、これはσ-集合体になっている。ついでにこの $\beta_0$ は $X$ のσ-集合体の中で最小のものとなっている。で、全体と空集合だけとかつまらないので、もうちょっと大きい最小のもの(?!)を考える。どういうものかと言うと、 $X$ の空でない真部分集合 $A$ に対して、 $\beta=\{X,\phi,A,A^c\}$ というものを考えるんだけど、これは $\beta$ は $A$ を含む最小のσ-集合体である。こういう最小のσ-集合体をちょっと考えようじゃないか。

あとで分かったんだけど、ボレル集合体の最小の、というのはこの意味ではなかった。ここではAにあたるものが集合になっているのだ。

すべての開区間を含む

上のはルベーグ積分から確率論 (共立講座 21世紀の数学)を読んでいたんだけど、以下はルベーグ積分30講 (数学30講シリーズ)を読んだして書いてる。

ちょっと、流れから外れるけど理解が進んだ。測度の定義というのは、外測度で与えられていたんだけど(P72)、その外測度を用いて可測であるということの定義が与えられていた(P64)。定義はこんなの。

集合 $X$ 上の上に外測度 $m^*$ が与えられているとする。このとき $A \subset X$ が可測であるとは、すべての $E \subset X$ に対して
$m^*(E)=m^*(E \cap A)+m^*(E \cap A^c)$
が成立することである。

で、半開区間が上の定義の可測であるということの証明がされている(P87)。また、 $R^k$ の任意の開集合は、可算個の半開区間の和として表すことができる(P88)。これらから、「開区間は可測である」ということが分かる。また、開区間の補集合である閉区間も可測である、ということも分かる(P88)。

$R^k$ のボレル集合

とりあえず以下の二つの事項に注意する。ちょうど反対の性質になってるんだね。

開集合の可算個の和集合は開集合であるが、開集合の可算個の積集合は必ずしも開集合になるとは限らない
閉集合の可算個の積集合は閉集合であるが、閉集合の可算個の和集合は必ずしも閉集合になるとは限らない

で、これを使って何か面白いことがくりひろげられる。P90の上のほうにある定義。

可算個の開集合の共通部分として表わされる集合を $G_{\delta}$ 集合と言う。可算個の閉集合の和集合として表わされる集合を $F_{\sigma}$ 集合と言う。

ん。上のからいくと $G_{\delta}$ とか $F_{\sigma}$ は必ずしも開集合であるとか閉集合であるとは言えない集合のことなんだな。で、 $G_{\delta}$ とか $F_{\sigma}$ に対して色々な操作をしていくことでまた集合を作り出していく。どういう操作かと言えば。

$G_{\delta}$ 集合の可算個の和集合を取ると、この集合は一般的には、 $G_{\delta}$ 集合でも $F_{\sigma}$ 集合でもない。このような集合を $G_{\delta\sigma}$ 集合という。同様に、 $F_{\sigma}$ 集合の可算個の共通部分として表わされる集合を $F_{\sigma\delta}$ 集合という。

こんな操作。

積集合を取った集合がいくつかあって、その和集合を考えるもの
和集合を取った集合がいくつかあって、その積集合を考えるもの

という風になっているんっだね。で、前回にやった逆の操作(積なら和、和なら積)という操作をどんどんどんどん繰り返していく。すると部分集合族の系列から新しいタイプの集合が次々と得られる。そしてこの操作をやって得られる $R^k$ の部分集合のことを $R^k$ のボレル集合と言う。おお、ボレル集合が登場した!!

ボレル集合は、すでに可測であるということが知られている開集合と閉集合から、可算個の和と共通部分と取るという操作を高々加算回繰り返して得られるのだから、これらはすべて可測な集合である、ということが分かる。これから「 $R^k$ のボレル集合はすべて可測である」という定理が導ける。これは便利そうな性質というか定理だなー。