いろいろ(先生に質問したところとか)

とりあえず書きなぐる。

ボレル集合体と命題1.6のところ

P17のgがどういうものかよく分かっていなかった。正確に言えば、分かったつもりになっていた。gは例えばこういうもの。
$(0,1) \in g$
または、こういうもの。
$\{(0,1),(2,3)\}\subset g$
こういうものではない、ということに注意。どのレベルの集合か、集合体なのか。
$\{(0,1)\} \in g$

ボレル集合体

$R^d$ の開集合すべての要素に持つ、最小の $\sigma$ -集合体(開集合族を包含する)。

「集合の要素である」、とは以下のようなこと。

$A \subset R^d$ を一つ決める→ $A$ は $\beta(R^d)$ の要素かどうか判別できる

$\sigma$ -集合体は以下の3つの性質を有していた。

$A$ が $R^d$ の開集合であるならば( $A \subset R^d$ ), $A$ は $\beta(R^d)$ のようになっている。
$A$ が $R^d$ の閉集合であるならば、 $A$ の補集合である $A^c$ 、つまり開集合も( $A^c \subset \beta(R^d)$ )となっている。
$A$ が $A_1 \cup A_2 \cup \cdots$ で $A_i$ が開集合か閉集合であるならば $A \subset \beta(R^d)$ となっている。

gを含む最小の $\sigma$ -集合体とは、gで生成される $\sigma$ -集合体、と同値である。これはgの要素を使って、 $\sigma$ -集合体の公理で作れるものを全部集めてきたものである。

図参照。 $\beta(R^d)$ が補集合や、和集合、積集合をどんどん取って広がっていくことが分かる。しかし、どこまでも広がる、というわけではなく上界が存在している*1。その上界のような存在が最小の $\sigma$ -集合体と呼ばれるようなものであり、gにより生成される $\sigma$ -集合体である。

ルベーグ積分と完備化

完備化すると何がうれしいのか、ということについて。

測度空間 $(B,u)$ が完備である、とは $A \in \beta$ で、 $B \subset A$ で、 $u(A)=0$ であるならば、 $B \in \beta$ ということである。また、これより $u(B)=0$ である、ということが分かる。

これだと何がうれしいかさっぱりであるが、以下のようなところがうれしい。ルベーグ積分を定義するにあたって、ベキ集合ではなく、 $\sigma$ -集合体とか半開区間などというものを考えた。ベキ集合のほうが当然大きいわけで、そう考えると $\sigma$ -集合体とかはベキ集合から捨てさった部分がある。そういった部分については確率が定義できない。

確率が0である、ではなくundefであるという状態は非常に困る。

リーマン積分では完備化をしなくてもそういう性質がある(ある集合の測度が0だったら、その部分集合の測度も決まる→その測度は0)が、ルベーグではそうとは言えない。ルベーグのほうがリーマンより大きいように積分を設計したいので、これでは困るのである。というわけでルベーグ積分をする前に完備化という作業をするのである。

*1:証明はなんか難しそうなので飛ばす