第五講ルベーク外測度

前の講では有限個の長方形で近似しているので、荒らいんじゃね?ということでもっとどうにかしようぜ、という流れ。

というわけで、有限個から可算個にレベルを上げてやる。

で、可算個に上げるだけでなく、長方形のほうにも工夫をする。ジョルダンの時には長方形を重ねるという操作は考えていなかったが、今度はそれを考える。注意としては、長方形を重ねるのだから、重なっている分の面積が増えているというところを忘れてはいけない。

で、こういう長方形を重ねることで覆う方法で測度を定義していく方法がルベーグ外測度。定義としては次のようなもの。Sを平面の有界な集合とする。Sを覆う可算個の長方形 $I_1,\cdots,I_n,\cdots$ を色々に取った時 $\sum^{\infty}_{n=1}|I_n|$ の下限をSのルベーグ外測度、または単に外測度と言い、 $m^*(S)$ で表わす。

下限を考えていくということで重なっている部分の面積がどんどん小さくなっていっているのかな。まあ、そういうわけで $m^*(S)$ を定義するためには、Sをおおう共通点のない長方形の系列を考えておけば十分である、と書いてある。

ルベーグ外測度の基本的な性質

証明は省いていきます。
(i) $0 \leq m^*(S) < \infty;m^*(\phi)=0$
(ii) $S \subset T$ ならば $m^*(S) \leq m^*(T)$
(iii) $S_1,\cdots,S_n,\cdots$ を有界な集合列とする。和集合 $\cup^{\infty}_{i=1}S_i$ も有界であるならば、 $m^*(\cup^{\infty}_{i=1}S_i) \leq \sum^{\infty}_{i=1}m^*(S_i)$
日本語にしていかないと分からない人なので、日本語にしていくか。(i)は測度は0以上でかつ、有限であるということと、空集合の測度は0である、ということを言っている。(ii)は集合がでかいほうの測度が大きくなるよねって言ってる*1。(iii)は可算個の有界な集合列があって、その和集合も有界であるならば、和集合の測度よりもそれぞれの測度の和のほうが大きくなる、ということを言っている。重なりの部分が効いてきているってことかな。

*1:最低でも同じになる、というのが正確