リアプノフの中心極限定理

まとめてみるテスト。

$\xi_i(i=1,\cdots,n)$ を独立な確率変数とし、その期待値と分散が $\mbox{E}(\xi_i)=0$ $\mbox{Var}(\xi_i)=\sigma^2_i$ であるとする(同一分布は仮定していない)。そして、それらの和 $Z_n=\sum^n_{i=1}\xi_i$ について考え、 $Z_n$ の分散が1である( $\mbox{Var}(Z_n)=\sum^n_{i=1}\sigma_i=1$ )と仮定する。
このとき、 $n \rightarrow \infty$ に従って、Liapounoff's condition $\sum^n_{i=1}\mbox{E}(|\xi_i|^3) \rightarrow 0$ が満たされるならば、 $Z_n \stackrel{w}{\to} N(0,1)$ である。

あ、定理そのままになってしまった。

ここでは、Liapounoff's condition $\sum^n_{i=1}\mbox{E}(|\xi_i|^3) \rightarrow 0$ としたが、一般には $\delta>0$ に対して $\sum^n_{i=1}\mbox{E}(|\xi_i|^{2+\delta}) \rightarrow 0$ のことをLiapounoff's conditionというようです。

使いやすい形に持っていく

定理はこれでいいんだけど、もっと使いやすい形にしよう。 $X_i(i=1,\cdots,n)$ を独立な確率変数列として、その期待値 $\mbox{E}[X_i]=\mu_i$ とし有限である、また分散 $\mbox{Var}[X_i]=\sigma^2_i$ でこれも有限であるとしよう。また分散の和を $s^2_n = \sum^n_{i=1}\sigma^2_i$ とする。

このとき、ある $\delta>0$ が存在して、すべての $i \in \mathfrak{N}$ に対して $\mbox{E}[|X_i|^{2+\delta}]$ が有限であると仮定し、Liapounoff's condition $\lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{s_N^{2+\delta}} \sum^N_{n=1}\mbox{E}[|X_n - \mu_n|^{2+\delta}]=0$ が満たされる時、確率変数 $Z_N=\sum^N_{n=1}(X_N - \mu_N)/s_n$ は $N \rightarrow \infty$ で標準正規分布に法則収束(convergence in distribution)する。