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リアプノフの中心極限定理

測度論的確率論 確率論

まとめてみるテスト。

\xi_i(i=1,\cdots,n)を独立な確率変数とし、その期待値と分散が\mbox{E}(\xi_i)=0\mbox{Var}(\xi_i)=\sigma^2_iであるとする(同一分布は仮定していない)。そして、それらの和Z_n=\sum^n_{i=1}\xi_iについて考え、Z_nの分散が1である(\mbox{Var}(Z_n)=\sum^n_{i=1}\sigma_i=1)と仮定する。

このとき、n \rightarrow \inftyに従って、Liapounoff's condition \sum^n_{i=1}\mbox{E}(|\xi_i|^3) \rightarrow 0が満たされるならば、Z_n \stackrel{w}{\to} N(0,1)である。

あ、定理そのままになってしまった。

ここでは、Liapounoff's condition \sum^n_{i=1}\mbox{E}(|\xi_i|^3) \rightarrow 0としたが、一般には\delta>0に対して\sum^n_{i=1}\mbox{E}(|\xi_i|^{2+\delta}) \rightarrow 0のことをLiapounoff's conditionというようです。

使いやすい形に持っていく

定理はこれでいいんだけど、もっと使いやすい形にしよう。X_i(i=1,\cdots,n)を独立な確率変数列として、その期待値\mbox{E}[X_i]=\mu_iとし有限である、また分散\mbox{Var}[X_i]=\sigma^2_iでこれも有限であるとしよう。また分散の和をs^2_n = \sum^n_{i=1}\sigma^2_iとする。

このとき、ある\delta>0が存在して、すべてのi \in \mathfrak{N}に対して\mbox{E}[|X_i|^{2+\delta}]が有限であると仮定し、Liapounoff's condition \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{s_N^{2+\delta}} \sum^N_{n=1}\mbox{E}[|X_n - \mu_n|^{2+\delta}]=0が満たされる時、確率変数Z_N=\sum^N_{n=1}(X_N - \mu_N)/s_nN \rightarrow \inftyで標準正規分布に法則収束(convergence in distribution)する。

うむ、正規化しただけだな。どうでもいいんだけど、多変数版の収束はどういう条件になってくるんだろうな。。。

参考