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位相と極限/点列の収束と閉集合

位相 意味が分かる位相空間論

点列の収束

Xが位相空間の場合、Xの中の点列について収束の概念というものを考えることができる。

a_i \in X \, (i=1,2,\cdots)が点a_0に収束するとは、a_0の任意の近傍に対して、自然数Nが存在して、\forall n, n \geq N \Rightarrow a_n \in Uが成り立つことである。

が定義となっている。a_0のどんなに小さい近傍Uを考えたって、a_nはUに属しているというような状態を収束しているというようだ。

点列の収束を定義できたので、閉集合との関係について下のような定理が示される。

Xを位相空間、Aをその閉部分集合とする。a_n \in A \, (n=1,2,\cdots)がAの中の点列でa_0に収束するなら、a_0 \in Aが成り立つ。

ええっと、「位相空間の閉部分集合」というのがよく分かっていない。んー、とりあえず閉区間みたいなものと思っておくか。

最初の定理(最初は定義か)と次のやつの違いがぱっと見分からなかったんだけど、ちょっと分かった。最初のほうはa_0の収束する先については何も言っていなかった。だけど、Aを閉部分集合としておけば、収束先もAの中である、ということが保証できるということを言っているようだ。確かにAが開区間のようなやつだと収束した先は開区間から出てしまっているという例がいくらでもありますね。

近傍の言葉で点列の収束を定義したんだから、位相の入れ方(距離とか?)が変わると収束したりしなかったり、収束しても収束先が違ったりということが起こる。「ちょ、一つに収束してよw」という感じのとき、うれしい位相空間があってそれをハウスドルフ空間と呼ぶ。

位相空間Xの任意の2点x、yに対して、共通部分を持たないそれぞれの近傍が存在するとき、ハイスドルフ空間という。

証明は書いてないけど、そういうことができるんだということを押さえておく感じにしておくかな。