基本近傍系と部分集合/第1加算公理と閉集合

前章の例っぽいところから入っている。

距離空間を変えると収束しなかたり
閉集合は点列の収束に関して閉じている集合であること

などが書いてある。

基本近傍系

近傍は(例えば距離を変えるとかで)たくさん考えることができる。なんだけど、全部ではなくて、その一部を考えて議論をしたほうがよい場合もあるらしい。あ、そういえばルベーグ積分の時も全部は考えていなかったな。

Xを位相空間とし、 $\mathfrak{U}(p),p \in X$ をその近傍系とする。 $\mathfrak{U}_0(p) \subset \mathfrak{U}(p)$ で、 $\forall N \in \mathfrak{U}(p),\exists N_0 \in \mathfrak{U}_0(p);p \in N_0 \subset N$ が成り立つとき、 $\mathfrak{U}_0(p), p \in X$ を基本近傍系という。

日本語を解読しないと。基本近傍系は近傍系の部分集合であるということは分かるんだけど、どういう条件の部分集合なのかを理解する必要がある。

「pのどんな近傍Nに対しても $N_0 \in \mathfrak{U}_0(p)$ が存在して、どんな $N_0$ かというと $p \in N_0 \subset N$ のような $N_0$ である。」といっている。 $N_0 \subset N$ がカギか。どんなNに対しても部分集合であるような $N_0$ が要素であるような集合系を $\mathfrak{U}_0(p)$ とするのか。例を見たほうが分かりやすかな。特に $\mathfrak{U}_1(p)=\{B_{\frac{1}{n}}(p) | n=1,2,\cdots\}$ の例が分かりやすいと思う。どんな $r>0$ に対しても十分大きな自然数 $N_0$ があって、という感じである。 $N_0$ のほうは何かあればよいことに注意(この場合は可算無限個あるわけだけど)。