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位相を比べる/連続写像と同相写像

位相 意味が分かる位相空間論

単射、全射の付近は集合論でたくさんやったからいいとして。

連続性

連続であるとかはε-δ論法とかで書いてあるのが多いんだけど(この本でもあとで書いてある)、ここでは逆像と(近傍|開集合)を使って連続写像の定義がしてある。(近傍を使った)ローカルな定義は、

X,Yを位相空間とし、f:X \rightarrow Yを写像とする。このとき、fがa \in Xで連続であるとは、f(a)の任意の近傍Nでfによる逆像f^{-1}(N)が必ずaの近傍であることである。

となっている。点において、連続であるといっている。一方、(開集合を使った)グローバルな定義は

X,Yを位相空間とし、f:X \rightarrow Yを写像とする。このとき、fが連続写像であるとは、Yの任意の開集合Uでfによる逆像f^{-1}(U)が必ず開集合であることである。

となっている。こっちは連続写像である、といっている。

同相写像

同相写像の定義とかはこの辺によると

  • fは全射である
  • fは単射である
  • fは連続である
  • f^{-1}は連続である

とある。最後の逆写像も連続である、というのがでかい。同相写像が何か、というのを理解するより同相写像ではないものはどういうものかと理解したほうがたぶん早い。ここの問3.1.2のとかがそうだし、

@syou6162 既に解決してそうな雰囲気ですが、2点以上からなる集合の上の恒等写像を考え、定義域のほうに離散位相、値域のほうに密着位相を入れれば、片方向のみが連続な全単射が出来ますよ

http://twitter.com/H_H/status/1085597895

というのを教えてもらった。