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測度論的確率論第二回

測度論的確率論

前回は5つの収束のモードとその関係性について、ということだった。今回はその関係性の逆がどのような条件ならば言えるか、ということについてやった。具体的には

  • 確率収束するならば、概収束するためには?
  • 確率収束ならば、平均収束するためには?

というところをやった。

確率収束するならば、概収束するためには?

確率収束するような確率変数列の(ある増加列に対する)subsequenceを取ってくると、概収束するってこと…かな。コーシー列がキーワードで重要なことになってきそうのようだ。

論理の分を集合の包含関係かindicator functionの式に置きかえるというのは先週と同じ方法。あと、\epsilon \rightarrow 0っていう操作はできないから、和を取った時に0に収束したようなやつを用意するこの場合だと2^{-k}とかそういうやつ。1/kとかだと和が収束しないから、2^{-k}とかそういう形になっている。

あと増加列にするためにmaxを使うテクニックが使われていた。んー、なんかよく分からないけど手を動かせば分かる気がする。

講義の資料では、部分列で概収束するコーシー列は存在する、ということは言っているんだけど、収束先がXであるかは言っていない。ということで自分で示さないといけないらしい。

確率収束ならば、平均収束するためには?

まず、一般にはこういうの言えないよねということを示すために平均収束しない確率変数列の例が示されている。

で、「確率収束ならば、平均収束するためには?」というのに必要になってくる条件としてX_nが一様可積分である、ということが必要になってくるということだった。授業でも一様可積分はどういうものか、という説明からあった。可積分に関しては実解析の時にやっているメモがある。

この

  • 可積分であること
  • ファトゥーの補題
  • ルベーグの収束定理

を使うとうまく証明ができるらしいんだけど、正直意識が飛んでしまった。