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十分統計量とかのメモ

理論統計学

また十分統計量とか、完備とかやってる。

  • 十分統計量は、ある統計量Tの条件付き分布がもはや母数\thetaに無関係になるもののことを言う
    • なんだけど、これだけだとどれが十分統計量であるかと知るとか示すのがめんどい
  • そこで分解定理(factorization theorem)ですよ
    • 同時確率密度関数が、Tと\thetaになる部分とxに関する部分とに分けられるという定理
  • 十分統計量に関する問題に関連して、ラオブラックウェルの定理があるよん
  • 十分統計量が与えられたもとでの、不偏推定量というのは
    • 不偏推定量になっているし(あ、ちょっと書き方があやしい気がする)
    • 色々不偏推定量があるんだけど、十分統計量で条件付けられたやつは、普通の不偏推定量に比べて、分散が小さくできるよ
  • で、UMVUE(一様最小分散不偏推定量)とかが登場
    • 任意の不偏推定量の分散より、分散が小さくできる不偏推定量のこと
  • んー、じゃあ
    • ラオブラックウェルの定理と分解定理があれば、UMVUEを見つけることができるってことかな?あれ、よく分からん

証明とかは今見ても無味乾燥なものなので、適当に練習問題をこなして、大体どんなことを言っているかをつかんだ上で、もっかい証明なり定理に戻ってきたいと思います。で、戻ってきたころには練習問題がくそ簡単に見えるようになっているという寸法です。理想では。。。

まあ、俺でもさすがに来年の理論統計学を受ける頃には、この辺を5回以上は軽くループしていると思うので、たぶん分かるようになってるはずだぜ!きっと!

追記

Introduction to the Theory of Statisticsでがしがしと勉強した。parametric point estimationのところ。中心をなす章だけあって、めちゃ長い。12とか21の問題をやるなどした。モーメント法とかmle(maximum-likelihood estimator)とかUMVUEとか色んな方法で\thetaの推定値を計算して、MSEで評価をしたりとか。MSEのところは、不偏推定量でもないのにVarで勝手に計算したりとかアホなことをやっていたのでやり直したりとかした。MSEをちょっと変形して、Varとバイアスの項に分けられるところのやつをちゃんとしよう。

十分統計量のところは、条件付き確率を使ってじゃなくて、分解定理を使わないと大変。

  • 分子の同時分布が、自分で独立性を示さないと分解できなかったりする
    • 独立性を示すのもそれなりに手間が必要だし、その後の計算も大変
    • 連続型の密度関数だと、ある値を取る確率は0になってしまうので、極限も考えないといけなくなり大変だるい
      • 理論統計学の授業で先生がやっていた付近
  • 分解定理うまー

分解定理を使うと、同時分布を適当に分けるだけで、十分統計量であることを示せるので大変楽ができる。なんでこれで十分統計量であることを示せるかについては、なじんできてからもう一度復習をすること。

完備性については、どういうことを言えば完備になるのかは理解した。恒等的に、とかすべての\thetaについて、とかを言うのを忘れないようにしよう。こっちも慣れてきたら、完備というのがどういうことを言っているのかをまとめるようにしたい。あと、位相とかに出てくる完備性との対応関係とか。

Introduction to the Theory of Statistics

Introduction to the Theory of Statistics