集合位相入門読書会第三回

id:witchmakersと。全単射とか、合成写像、写像の集合などなど。結構ややこしい感じがしたので(主に僕にとって)、例を多めでやっていきました。

全射、単射、全単射

全射の前に終集合というのをしっかり考えておかないといけない。例えば $R \rightarrow R$ への写像 $f(x) = a^x (a > 0, a \neq 1)$ というものを考える。こういう場合だと、始集合はR、終集合もRということになる。しかし、値域 $V(f)$ は $(0,\infty)$ となって、 $f(R) \neq R$ となる。こういうのは全射とは言わない。fをAからBへの写像とした時に値域と終集合が一致するものを全射と言う。 $f(x)=x+1$ や $f(x)=x^3$ のようなものは全射だが、 $f(x)=x^2$ は全射ではない(値域とRが一致しないから)。

単射は一対一対応のことですね。これはまーよい。

で、定義4でこんなのが出てくる。

写像 $f:A \rightarrow B$ の逆対応 $f^{-1}:B \rightarrow A$ が写像になるための必要十分条件は、fがAからBへの全単射であることである。またそのとき、 $f^{-1}$ はBからAへの全単射となる。

写像の合成

$(g \circ f)(a) = g(f(a))$ のようなやつ。gとfの順序に注意しておかないとあとでごちゃごちゃしてくる。定理5にはこんなのがあった。

$f:A \rightarrow B$ 、 $g:B \rightarrow C$ とするとき、f、gがともに全射ならば、 $g \circ f : A \rightarrow C$ も全射である。また、f、gがともに単射ならば、 $g \circ f$ も単射。f、gがともに全単射ならば、 $g \circ f$ も全単射である。

本当かなーということで証明を見てもいくんだけど、例題を見たほうが納得する性格なので、例題を見ていくことに。 $f(x)=x+1$ 、 $g(x)=x^3$ とすると、fとgはそれぞれ全単射である。それらの合成は $(g \circ f) = g(f(x)) = (x+1)^3$ となる。これは値域と $V(g(f(x))) = R$ となっているので全射で、一対一対応しているので単射。これより全単射となっていて、上の性質を満たすことが分かる。ほー。

他に写像に関する性質として

交換律は一般には成立しない
- $(g \circ f) \neq (f \circ g)$ のような例が簡単に作れる
写像の合成に関して、結合律が成立する

例は、あとで書くかも。

集合の終集合に関する注意

終集合が異なるけど、ほとんど一緒のようなものを同一視するようなやり方。測度論の同値類とかとちょっと似てる?

写像に関する集合

結構やっかいだったところ。

A、Bを任意の集合とするとき、AからBへの写像全部の集合を $\mathfrak{F}(A,B)$ 、または $B^A$ で表わす。この集合は、しばしば、Aの上のBの配置集合と呼ばれる。

分けわかんなくなりそうなんだけど、配置集合の一つ一つの要素は写像になっている。写像をRuby風の関数と考えるならば

[lambda_1{|A|..},lambda_2{|A|..},lambda_3{|A|..},]

のようなイメージ。写像を要素として持つ集合。AからBへの写像全部を集めてくる。

例を考えた。 $A = \{1,2\}$ 、 $B = \{1,2,3\}$ を考えたときの配置集合がどんなものかを考えてみる。 $f:A \rightarrow B$ で、 $f(1)=1,f(2)=1$ を(1->1, 2->1)のように書くとすると、配置集合は{(1->1, 2->1), (1->1, 2->2), (1->1, 2->3), (1->2, 2->1), (1->2, 2->2), (1->2, 2->3), (1->3, 2->1), (1->3, 2->2), (1->3, 2->3)}のような感じになる。あー、確かに要素は写像になっているわー。これからも分かる通り、3^2=9個が配置集合の個数となる。

で、理論統計とかその辺でよく見かけるindicator functionというかそんなものが登場する。