texが使えるので - yasuhisa's blog

プライス方程式の問題でも書いてみた。
$E(f_{'})\Delta E_(i)=cov(f_{i},Z_{i})+E(f_{i}\Delta Z_{i})$ を示す。
右辺は
$E(f_{'})\Delta E_(i)$
$=E(f_{i})\Delta E(Z_{i})$
$=E(f_{i})(\sum_{i} p^{'}_{i}Z^{'}_{i}-\sum_{i} p_{i}Z_{i})$
$=E(f_{i})(\sum_{i} p_{i}\frac{f_{i}}{E(f_{i})}Z^{'}_{i}-\sum_{i} p_{i}Z_{i})$
$=\sum_{i} p_{i}f_{i}Z^{'}_{i}-E(f_{i})E(Z_{i})$
と変形できる。
また、左辺は
$cov(f_{i},Z_{i})+E(f_{i}\Delta Z_{i})$
$=\sum_{i} p_{i}(f_{i}-E(f_{i})(Z_{i}-E(Z_{i})+\sum_{i}p_{i}f_{i}\Delta Z{i}$
$=\sum_{i} p_{i}(f_{i}Z_{i}-f_{i}E(Z_{i})-Z_{i}E(f_{i})-Z_{i}E(f_{i})+E(f_{i})E(Z_{i})+f_{i}Z_{i}-f_{i}Z_{i})$
$=\sum_{i} p_{i}f_{i}Z^{'}_{i}+E(f_{i})E(Z_{i})\sum_{i} p_{i}-2E(f_{i})E(Z_{i})$
$=\sum_{i} p_{i}f_{i}Z^{'}_{i}-E(f_{i})E(Z_{i})$
となる。（左辺）=（右辺）となりプライス方程式が成り立つことが示された。

示されたのはいいけど、これ書くの結構めんどいね。。。