id:witchmakersと。全単射とか、合成写像、写像の集合などなど。結構ややこしい感じがしたので(主に僕にとって)、例を多めでやっていきました。
全射、単射、全単射
全射の前に終集合というのをしっかり考えておかないといけない。例えばへの写像というものを考える。こういう場合だと、始集合はR、終集合もRということになる。しかし、値域はとなって、となる。こういうのは全射とは言わない。fをAからBへの写像とした時に値域と終集合が一致するものを全射と言う。やのようなものは全射だが、は全射ではない(値域とRが一致しないから)。
単射は一対一対応のことですね。これはまーよい。
で、定義4でこんなのが出てくる。
写像の逆対応が写像になるための必要十分条件は、fがAからBへの全単射であることである。またそのとき、はBからAへの全単射となる。
写像の合成
のようなやつ。gとfの順序に注意しておかないとあとでごちゃごちゃしてくる。定理5にはこんなのがあった。
、とするとき、f、gがともに全射ならば、も全射である。また、f、gがともに単射ならば、も単射。f、gがともに全単射ならば、も全単射である。
本当かなーということで証明を見てもいくんだけど、例題を見たほうが納得する性格なので、例題を見ていくことに。、とすると、fとgはそれぞれ全単射である。それらの合成はとなる。これは値域ととなっているので全射で、一対一対応しているので単射。これより全単射となっていて、上の性質を満たすことが分かる。ほー。
他に写像に関する性質として
- 交換律は一般には成立しない
- のような例が簡単に作れる
- 写像の合成に関して、結合律が成立する
例は、あとで書くかも。
集合の終集合に関する注意
終集合が異なるけど、ほとんど一緒のようなものを同一視するようなやり方。測度論の同値類とかとちょっと似てる?
写像に関する集合
結構やっかいだったところ。
A、Bを任意の集合とするとき、AからBへの写像全部の集合を、またはで表わす。この集合は、しばしば、Aの上のBの配置集合と呼ばれる。
分けわかんなくなりそうなんだけど、配置集合の一つ一つの要素は写像になっている。写像をRuby風の関数と考えるならば
[lambda_1{|A|..},lambda_2{|A|..},lambda_3{|A|..},]
のようなイメージ。写像を要素として持つ集合。AからBへの写像全部を集めてくる。
例を考えた。、を考えたときの配置集合がどんなものかを考えてみる。で、を(1->1, 2->1)のように書くとすると、配置集合は{(1->1, 2->1), (1->1, 2->2), (1->1, 2->3), (1->2, 2->1), (1->2, 2->2), (1->2, 2->3), (1->3, 2->1), (1->3, 2->2), (1->3, 2->3)}のような感じになる。あー、確かに要素は写像になっているわー。これからも分かる通り、3^2=9個が配置集合の個数となる。
で、理論統計とかその辺でよく見かけるindicator functionというかそんなものが登場する。