何か納得がいかないんだけど…？

統計に興味があるとかほざいてるわりに、統計1なところでつまづいておりますorz

$x$ が平均 $\mu$ 、標準偏差 $\sigma$ の正規分布に従うならば、大きさ $n$ の無作為標本に基づく標本平均 $\bar{x}$ は平均 $\mu$ 、標準偏差 $\sigma / \sqrt{n}$ の正規分布に従う。

っていう公式があったと思うのですが、それに関して*1。

これってサンプル数nを増やしていくと、それにつれて標準偏差は小さくなっていきますよね。というとでどんどんサンプル数を増やしていって、母集団全部になるまで増やしたとします。そのとき、この公式に当てはめると標準偏差が $\sigma / \sqrt{n}$ ってなると思うんですが、母集団の標準偏差はもともと $\sigma$ なんですよね？一緒にならない？

これの証明とかでモーメント母関数が出てきて云々…のほうは分かるんですが。

サンプル数大きくしていくと母集団といっしょまで行くまで行くとかいう考えがおかしいのか。。。

追記
何か本とか見たりしたらだんだん分かってきた気がする。

nに上限（＝母集団の要素数）があると考えていたのがまずいっぽい（と思う）。母集団から取って戻して…を繰り返して標本を作るようにすればnは母集団の要素数より大きくできるな。引いたら戻さないって考えると「サンプル数が増える→精度が上がる」には納得できないけど、引いたら戻すを考えることをおkにすると精度が上がるところは納得できる。

無作為標本ってところがカギだな。カードを引いたら戻すか、戻さないかの違い。復元抽出か、非復元かなんだけど今見ている本では復元で定義してあった。復元ならこれで納得が行くんだけど、世論調査とかで同じ人に聞いたりとか、医学系で同じ人に二回薬物を投与するってないよね。。。その辺どうなんだろう？

追記の追記
後半部はxじゃなくて母集団平均に関して言っていることだった。まじで終わってる。数学の前に日本語勉強しろ。おわた、おわた。。。

*1:中心極限定理と一緒に出てくるやつです。