読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

フーリエ級数

基礎数学II

この時間は機械翻訳の勉強会が入っているので、授業は取らない予定だった。が、音情報処理が予想以上に分けが分からない感じで、正直やばすぎて、分からないところはフーリエ変換とかその付近からで、基礎数学IIでその付近をやっているということを友達から聞いたので取ることにした(学部ではフーリエ変換とかやってないゆとりなところでした...)。そういうことなので、MT勉強会はしばらく行けないかと思います。。。

さて、今回はフーリエ級数。無限階微分が可能な関数に対しては、マクローリン展開が可能。しかし、微分可能でない関数や連続でない関数はダメ。そういうやつに対して級数展開できないか?と考えた人たちがいた。微分不可能な関数も、区間を分けてやればできそうなので、区分的に滑らかとかそういうような関数の集まりに対して今回のターゲットを絞ることにする。さらに、最初は性質が良さそうなものとして、周期2\piを持つものを考える。するとマクローリン展開でやったような感じのことができることが分かる。(マクローリン展開で問題になった時のように)級数のほうが収束してくれるかが心配になるが、その辺は(各点に対する)収束定理が与えられていて、収束先がどこかまで分かっている。周期は2\piだけでなく周期lのように拡張することや、複素数に対しても拡張可能らしい(ここの詳細は今回はやっていない)。

フーリエ級数がマクローリン展開と違うところは、微分ではなく積分を使っているというところ。積分を使うことで、有限個くらい微分不可能だったり連続でない点があったとしても、そこの違うは無視できる。これによって、関数の同値類の話が出てくる。関数の同値類と言えば、ルベーク積分での「ほとんど至るところで」というのが頭に浮かぶと思うが、ここでは「測度0」とかまでは考えなくて、有限個くらいまでしか考えていない。まあ、そういうことはどうでもいいとして、こういう周期を持っていて、区分的に滑らかな関数に対して内積を考えてやる。関数をフーリエ級数で展開してやって、ここで定義した内積を使うと、本質的に無限次元ある関数が内積の無限和という形で書ける。ちょっと「!!」となった。