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Rosenbrockのbanana functionを共役勾配法で最適化して、可視化してみた

最適化理論 R

wikipedia:en:Rosenbrock_functionという有名らしい関数があるんですが、共役勾配法の動きを見てみるためにこの関数で遊んでみました。結果はこんな感じ。
f:id:syou6162:20161010132543p:plain
極端すぎないパラメータだと大域的最適解に行ってくれました。コードも簡単。

f <- function(x) {
  x1 <- x[1]; x2 <- x[2]
  (1 - x1)^2 + 100 * (x2 - x1^2)^2
}

nabla_f <- function(x) {
  x1 <- x[1]; x2 <- x[2]
  c(2 * (x1 - 1) + 400 * x1 * ((x1^2 - x2)), 200 * (x2 - x1^2))
}

armijo <- function(x, d, xi, tau) {
  beta <- 1
  while(f(x + beta * d) > f(x) + xi * beta * sum(nabla_f(x) * d)) {
    beta <- tau * beta
  }
  return(beta)
}

plot.banana.function <- function(init, xi, tau) {
  x0 <- init
  d <- - nabla_f(x0)
  x <- x0
  k <- 1
  result <- matrix(x, 1, 2, byrow=TRUE)
  
  while(TRUE){
    old_nabla_f <- sum(nabla_f(x)^2)
    old_x <- x
    x <- x + armijo(x, d, xi, tau) * d
    result <- rbind(result, x)
    if(sum((x - old_x)^2) < 0.00001) break 
    beta <- sum(nabla_f(x)^2) / old_nabla_f
    d <- - nabla_f(x) + beta * d
    k <- k + 1
  }

  x <- seq(-2, 2, length.out=20)
  y <- seq(-1, 3, length.out=20)
  z <- outer(x, y, function(x1, x2) (1 - x1)^2 + 100 * (x2 - x1^2)^2)

  contour(x, y, z,
          main = paste("xi = ", xi, ", tau = ", tau, sep=""), 
          xlab = "x1", ylab = "x2",
          )

  lines(result[,1], result[,2], col = "red", lwd = 2, type = "o")
}

par(mfrow=c(3, 3))
init <- c(2, -1)

for(xi in c(0.1, 0.3, 0.75)) {
  for(tau in c(0.1, 0.3, 0.75)) {
    plot.banana.function(init, xi, tau)
  }
}

共役勾配法は二次関数の場合では、変数分の反復で収束してくれるという性質がありますが、今回のはそういう関数ではないので、簡単には収束しません。

去年はこれの3Dバジョーンで最急降下法でやってました。