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基本近傍系と部分集合/第1加算公理と閉集合

位相 意味が分かる位相空間論

前章の例っぽいところから入っている。

  • 距離空間を変えると収束しなかたり
  • 閉集合は点列の収束に関して閉じている集合であること

などが書いてある。

基本近傍系

近傍は(例えば距離を変えるとかで)たくさん考えることができる。なんだけど、全部ではなくて、その一部を考えて議論をしたほうがよい場合もあるらしい。あ、そういえばルベーグ積分の時も全部は考えていなかったな。

Xを位相空間とし、\mathfrak{U}(p),p \in Xをその近傍系とする。\mathfrak{U}_0(p) \subset \mathfrak{U}(p)で、\forall N \in \mathfrak{U}(p),\exists N_0 \in \mathfrak{U}_0(p);p \in N_0 \subset Nが成り立つとき、\mathfrak{U}_0(p), p \in Xを基本近傍系という。

日本語を解読しないと。基本近傍系は近傍系の部分集合であるということは分かるんだけど、どういう条件の部分集合なのかを理解する必要がある。

「pのどんな近傍Nに対してもN_0 \in \mathfrak{U}_0(p)が存在して、どんなN_0かというとp \in N_0 \subset NのようなN_0である。」といっている。N_0 \subset Nがカギか。どんなNに対しても部分集合であるようなN_0が要素であるような集合系を\mathfrak{U}_0(p)とするのか。例を見たほうが分かりやすかな。特に\mathfrak{U}_1(p)=\{B_{\frac{1}{n}}(p) | n=1,2,\cdots\}の例が分かりやすいと思う。どんなr>0に対しても十分大きな自然数N_0があって、という感じである。N_0のほうは何かあればよいことに注意(この場合は可算無限個あるわけだけど)。

こんな感じ。近傍全部じゃなくて、どんな近傍に対しても部分集合となっているような要素が存在する近傍系(日本語が長い。。。)について考えよう、ということである。

部分空間