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集合から位相へ/一般化と公理的展開

位相 意味が分かる位相空間論

集合の付近はもう飛ばしつつ。

距離空間

まず、距離を公理ではなく、平面上での性質として考える。そして、これを思いきって公理として考えてしまう!!そうすることで考えられる対象をいっきに増やすことができるようになる。例1-1のような離散距離や、例1-3のような関数間の距離すら定めてしまうことができる。特に例1-3はすげーと思った。

集合Xの要素を閉区間[0,1]から実数への連続写像全体、すなわち
X = \{f| f:[0,1] \rightarrow \mathbf{R},\mbox{continuous}\}
とする(tex記法で日本語使えないのか)。Xの要素は写像であるということである。で、2つの連続関数f,g \in Xの距離d(f,g)
d(f,g) = \mbox{max} \{|f(x)-g(x)|x \in [0,1]\}
とするとこれも距離の公理を満たしている。こういう感じで平面だけではなく様々な集合に対して距離を考えられるようになるのである。すごい!!

ということで位相というのはなんか距離とかその周りというものを抽象化した概念である、という感じで書いてある。なんとかやっていけそうな気がする。あと、集合にこういう距離とかの概念を与えてやることを位相とか集合に構造を与える、みたいな言い方をするようである。