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Inversion Theorem

測度論的確率論

授業の期間は終わっているんだけど、今日は補講です。前回くらいから、id:Muichkineと「分布関数と特性関数が一対一対応しているってのはよく使うのに、その証明どこにも出てこないよねー」という話をしていたのだが、今日出てきた。それがInversion Theormeというものだった。

C(t)を特性関数(characteristic function)、F(x)を分布関数として、一般性を失しなうことなくa < bとして、この間でF(x)が連続であるとすると
F(b) - F(a) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi} \int^T_{-T} \frac{\exp(-ita) - \exp(-itb)}{it} C(t) dt
が成立する、というものである。特性関数を投げてやると、分布関数の差が求まる。aとbの間にあるやつが求まるんだから、分布関数も決まる*1よね*2、という話だった。証明自体はそんなに難しくなさそうだった。
\lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{\pi} \int^T_0 \frac{\sin(ax)}{x} dx
の積分*3がなかなかやっかいだが、そこだけかなあ。

歴史の流れ?

測度論的確率論のこれまでの授業では、様々な中心極限定理の証明を特性関数を用いず、弱収束などを使って証明してきた。が、1950年くらい*4までは弱収束などの概念がなくて*5、中心極限定理に関する証明に特性関数が用いられていたらしい。が、授業でも言われていたように特性関数を使うと直感がきかなくて嫌だなあ、ということでもっといいものがあるに違いないということで色々探した結果、弱収束などが使えそうだ、というのが歴史の流れらしい。

上のやつは授業が終わった後に質問しに行ったのだが、なんでこんなのを疑問に思ったかと言うと

  • モーメント母関数でも特性関数もモーメントを求められるんだよね
  • モーメント母関数は常に存在するとは限らないけど、特性関数は常に存在する*6と言える
  • でも、モーメント存在しないんだったら、求められなくね?
    • 言い方があいまいすぐる。。。
  • 「モーメントは存在するけど、モーメント母関数は存在しない」という状況があれば、特性関数の意義が分かるんだけど、そういうのってふつーの分布ではなくね?
  • じゃあ、(常に存在するかもしれないけど)そんな特性関数とかあっても仕方なくね?

と思ったのでした。まあ、上でいったような歴史があるので、本によっては特性関数のみを使った証明が書かれている。ので、まあ特性関数についても知っておいたほうがよいだろう、ということだった。確率論では、そういうこともあって前よりは重要性は下がったんじゃないか、ということでした。

まあ、どっちにしろInversion Theoremをよく使うので、特性関数は必要ですね(どっちだよ)。

Continuity Theorem

これも重要なものだったらしいけど、時間がなくなってあんまりよく分からなかったよ><。Theorem 2.1のやつと比較して、、、という話でした。来年の俺頑張れ!!

*1:決まるとは言っているけど、どうやって決めるかについては言っていないことにも注意。

*2:密度関数の存在については言っていないことに注意。存在しない場合もある。

*3:sinc関数と呼ばれているらしい

*4:1970とかだったかもしれない

*5:授業が終わったあとに聞いた

*6:証明がレジメにある