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集合論ゼミのエッセンスを書いていくテスト

集合論
  • 集合は要素に落して考える
  • 集合の等号を言う時には、両方の包含関係を示す
  • 示す時は、集合ではなく要素に落して考える
  • 分配則、結合則、交換則などどの定理、どの定義を使ったのか明確に述べる
  • 空集合を示したい時には背理法
  • そのまま証明するのが難しそうなら背理法
  • uniqueを証明したければ、そうじゃないのがあると仮定して、矛盾を導く
  • 無限個要素があるような集合でも要素と命題のレベルまで落せたら証明に持って行ける
    • \cup_{\lambda \in \Lambda}A_\lambda = \{x | \exists \lambda \in \Lambda;x \in A_\lambda\}
    • \cap_{\lambda \in \Lambda}A_\lambda = \{x | \forall \lambda \in \Lambda;x \in A_\lambda\}
  • 逆像は演算を保存する性質がある
  • 例えば以下のようなもの
    • f^{-1}(\cap_{\mu \in M}B_\mu) = \cap_{\mu \in M}f^{-1}(B_\mu)
    • f^{-1}(B_1) - f^{-1}(B_2) = f^{-1}(B_1 - B2)
  • でも、写像のintersectionに関してはそれが成立しないので、注意が必要
    • f(\cap_{\lambda \in \Lambda}A_\lambda) \subset \cap_{\lambda \in \Lambda}(A_\lambda)
      • f(A_1 \cap A_2) \subset f(A_1) \cap f(A_2)の時とかで、A_1 \cap A_2 = \phiのような場合を考えればよい
      • 写像は元の集合を小さくする
      • xに対して2つのyが決まるということはない
  • 直積だって、要素に持って行って証明
    • A \times B = \{(a,b)|a \in A,b \in B\}
  • 上極限集合、下極限集合だって、ちゃんと要素で書きくだせる
    • x \in \limsup_{n \rightarrow \infty}E_n \Leftrightarrow x \in \cup^\infty_{k=1}\cap^\infty_{n=k}E_n \Leftrightarrow \exists k \in N, \forall n \in N, n \geq k, x \in E_n
      • ある自然数kが存在して、k以上の自然数n全てに対して、xはEnの要素だと言っているのだから、上極限集合は無限個の*1Enに属する元全体の集合となる
    • x \in \liminf_{n \rightarrow \infty}E_n \Leftrightarrow x \in \cap^\infty_{k=1}\cup^\infty_{n=k}E_n \Leftrightarrow \forall k \in N, \exists n \in N, n \geq k, x \in E_n
      • 全ての自然数kに対して、xはEnの要素となるような、k以上となるnが存在する、と言っているのだから、下極限集合は有限個のEjを除いて*2、それ以外のすべてのEnに属す元全体の集合となる
    • 分からなくなったら、点列についてのを考えてあげればいい
    • i \in Nに対して、a_i=(-1)^iだとすると*3
      • \limsup_{n \rightarrow \infty}a_i = \inf_{k=1,2,3,\cdots}\sup_{n \geq k}a_i = 1
      • k=2の時はsupが1、という風に読んでいってやる。最大じゃなくて、上限
      • \liminf_{n \rightarrow \infty}a_i = \sup_{k=1,2,3,\cdots}\inf_{n \geq k}a_i = -1

*1:k以上の自然数n全てに対して、xはEnの要素なんだから。

*2:kより先を考えてるんだから。あとkより先でxがEnの要素となるのはいくつ先か分からないからjとかが出てくる

*3:収束しない点列。発散してしまう