読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

商集合について勉強しておくライフハック(笑)

集合論

商集合はあとでも使いそうなので、もうちょっと勉強しないとやばそうである。というわけでぐぐりまくる。

集合Aと、A上の同値関係fが与えられたとき、A上のfによる同値類の集合を、Aのfによる商集合(quotient set)と呼びA/fと表します。すなわち、商集合とは、A/f = \{ X \in P(A) | \exists x ( x \in A \cap X = f(x) ) \}と定義される集合です。

例えば、先ほどの例であげた集合および同値関係

A = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}
f = \{ (x, y) \in A \times A | x \equiv y ( \mbox{mod} 3 ) \}
を用いて商集合を作ると、
A/f = \{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}
となります。 ただし、 \bar{0}=\{0,3,6\}\bar{1}=\{1,4,7\}\bar{2}=\{2,5,8\}です。

関係についてもうちょっと自分なりに

P52からP53の頭の「特に数学ではR(x,y)(x,yの変域はともにA)という形の2変数の関係がよく考えられる」という部分の「x,yの変域はともにA」を読み飛ばしていた。どうりで辺なことになっていた。

x^2+y^2=1という関係をRとする。aRbはa^2+b^2=1を満たすようなa、bの組(a,b)を要素として持つ集合である。例えば(a,b)として(1,0)とか(0,1)など。

ここで(a,b)全体はA \times Aの部分集合の一つである。この場合はA=RだからR \times Rとなっている。もちろん、(a,b)全体はR \times Rにはなりえないので*1、そういう意味で部分集合となっている。

ゆえにAにおける1つの関係を定めることは、A \times Aの一つの部分集合を与えることである。

*1:円の外とか中とか