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集合位相入門読書会第五回

XR 勉強会 集合論 集合位相入門

前回は選出公理というちょっと色々ありそうな公理のところまでやったんだけど、その続きから。なんとか第一章は終わったんだけど、商集合がよく分かっていないので、来週ちょっと復習しようと思う。

写像に関する一定理

ここで定理7というのがよく分からなかった。正確に言えば、どういう風役に立つのかが想像できなかったと言えばいいのかな。

この定理7はP49の系「A、Bを2つの集合とするとき、AからBへの単車が存在する必要十分条件は、BからAへの全射が存在することである」を証明するためにあるのなあ、という感じで理解したんだけど、この系が証明できると何がうれしいかやっぱり分からなかった。

多変数の写像

P49の最初の定義域Aが直積A_1 \times \cdots \times A_nの部分集合である、とあるんだけどそれがどういうものかの確認からやっていった。簡単にするためにA_1 = \{1,2,3\}A_2 = \{a,b,c\}とする。この時直積A_1 \times A_2\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)\}である。で考えるのはAの元aは(a_1,\cdots,a_n)の形をしている、とあるんだけど、実際に書き出してみると(1,a)みたいな形をしているので、なるほどといった感じ。こう見るとfはn次元ベクトルを入力に取る関数なんだなと思ったけど、一般の集合を考えてるので、次元とかはまだ考えないほうがいいんでないか、というところだった。

「また、Xを一つの集合とするとき、\mathfrak{P}(X)の元A、Bに対して\phi(A,B) = A \cup B\rho(A,B)=A \cap Bとおけば、\phi,\rho\mathfrak{P}(X) \times \mathfrak{P}(X)から\mathfrak{P}(X)への写像となる」というところも何か分かってなかったので例を考えた。

\mathfrak{P}(X) = \{\{\quad\},a,b,c,\{a,b\},\{a.c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}みたいなのを考える。A = \{a,c\}B = \{a,b,c\}とすると、A \cup B = {a,b,c}A \cap B = {a,c}となるが、これは\mathfrak{P}(X)の要素となっている。なるほど。

関係の概念

「Rを集合Aにおける一つの関係とするとき、aRbが成立するようなa、bの組(a,b)の全体は、A \times Aの一つの部分集合を形づくる。この集合を関係Rのグラフといい、G(R)で表わす。すなわちG(R)= \{(a,b) | a \in A,b \in A,aRb\}」と定義されていた。で、P52の(ii)みたいあな3つあるやつはどう表現すればいいんだろうねー、という話になったんだけどG(R)=\{(x,y,z)|x \in R, y \in R,z \in R ,R(x,y,z)\}と書けそうだ、という感じになった。関係のRと実数のRが混ってあれですが、コンテキストで読んでくださいwww。

同値関係

反射率、対称律、推移律が成立するような関係を同値関係と言うというあれ。いくつか例が出てくるんだけど、例4の直和分割のやつがあとで効いてくる。次の2つの条件が成立するとき、\mathfrak{m}はAの直和分割であると言う。

  1. \cup \mathfrak{M} = A
  2. mの相異なる2元は互いに素である。すなわち\mathfrak{M} \in C,C';C \neq C' \Rightarrow C \cap C' = \phi

同値類、商集合

直和分割がすごいなーと思ったのは次の性質があったから。

逆に、Aにおける任意の同値関係は、Aのある直和分割に付随する同値関係と考えられる。

これが考えられるだけじゃなくて、証明もしてあるんだけど。

で、そこから商集合の話が出てくるんだけど、よく分かっていないので[あとで書く]。

写像の分解

ここも商集合の話がよく分かっていないので、あとで(ry。