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測度論的確率論第一回

測度論的確率論

先週がお休みだったので、今週が第一回。色々な収束の仕方を定義して、それらの収束の間の関係を証明する途中のところまで行きました。

定義が終わったあとでの収束間の証明は非常にclearで分かりやすかったんだけど、それぞれの収束が何を言っているのか、なんでその定義なのかを理解するところが大変そうだ。。。実解析とか、集合論の勉強をしたりもしたけど、実際の無限集合とか極限操作の付近とかの扱いがまだまだ慣れていないんだなあと思いました。理解できないというより、体が拒否反応を示すという感じか。

あと、概収束と確率収束の違いがちゃんとまだ説明できない。

概収束

almost sure convergenceで「a.s.」とよく書かれるやつ。実解析でもでてきたなあ。定義は\lim_{n \rightarrow \infty} \mbox{Pr} \{\omega:\sup_{i \geq n} |X_i(\omega) -X(\omega)| > \epsilon\} = 0というようなもの。このタイプの収束は実解析の付近でもよく出てきたな。同値なものとして\mbox{Pr} \{\omega: \lim_{n \rightarrow \infty} X_n(\omega) = X(\omega)\}=1というのがあるんだけど、どうにもこれが同値なものに見えないから困ったものです。

有理数がどうのこうのの話が出てきたりとかもした。有理数であれば数えられるから、集合の和集合を考える時に都合がよくなる。都合がよくなるだけじゃなくって、そういう風に考えても不都合は起きないよねという話もあったけど、正直消化できてない。

Convergence in Mean Square

二乗平均が収束するというやつ。\lim_{n \rightarrow \infty} \mbox{E} \{\omega:(X_n(\omega) -X(\omega))^2\} = 0が定義。tailが長いやつはモーメントが存在しない時があるので注意が必要。

Convergence in Probability

\lim_{n \rightarrow \infty} \mbox{Pr} \{\omega:|X_n(\omega) -X(\omega)| \geq \epsilon\} = 0が定義。事象としては起こりうるんだけど、その確率は0に持っていけるよというもの。

各収束の仕方の間の関係

最初に立てる不等式が全て。あとは記号的にやっていけるようにするのがよいやり方。