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集合位相入門読書会第三回

XR 勉強会 集合論 集合位相入門

id:witchmakersと。全単射とか、合成写像、写像の集合などなど。結構ややこしい感じがしたので(主に僕にとって)、例を多めでやっていきました。

全射、単射、全単射

全射の前に終集合というのをしっかり考えておかないといけない。例えばR \rightarrow Rへの写像f(x) = a^x (a > 0, a \neq 1)というものを考える。こういう場合だと、始集合はR、終集合もRということになる。しかし、値域V(f)(0,\infty)となって、f(R) \neq Rとなる。こういうのは全射とは言わない。fをAからBへの写像とした時に値域と終集合が一致するものを全射と言う。f(x)=x+1f(x)=x^3のようなものは全射だが、f(x)=x^2は全射ではない(値域とRが一致しないから)。

単射は一対一対応のことですね。これはまーよい。

で、定義4でこんなのが出てくる。

写像f:A \rightarrow Bの逆対応f^{-1}:B \rightarrow Aが写像になるための必要十分条件は、fがAからBへの全単射であることである。またそのとき、f^{-1}はBからAへの全単射となる。

写像の合成

(g \circ f)(a) = g(f(a))のようなやつ。gとfの順序に注意しておかないとあとでごちゃごちゃしてくる。定理5にはこんなのがあった。

f:A \rightarrow Bg:B \rightarrow Cとするとき、f、gがともに全射ならば、g \circ f : A \rightarrow Cも全射である。また、f、gがともに単射ならば、g \circ fも単射。f、gがともに全単射ならば、g \circ fも全単射である。

本当かなーということで証明を見てもいくんだけど、例題を見たほうが納得する性格なので、例題を見ていくことに。f(x)=x+1g(x)=x^3とすると、fとgはそれぞれ全単射である。それらの合成は(g \circ f) = g(f(x)) = (x+1)^3となる。これは値域とV(g(f(x))) = Rとなっているので全射で、一対一対応しているので単射。これより全単射となっていて、上の性質を満たすことが分かる。ほー。

他に写像に関する性質として

  • 交換律は一般には成立しない
    • (g \circ f) \neq (f \circ g)のような例が簡単に作れる
  • 写像の合成に関して、結合律が成立する

例は、あとで書くかも。

集合の終集合に関する注意

終集合が異なるけど、ほとんど一緒のようなものを同一視するようなやり方。測度論の同値類とかとちょっと似てる?

写像に関する集合

結構やっかいだったところ。

A、Bを任意の集合とするとき、AからBへの写像全部の集合を\mathfrak{F}(A,B)、またはB^Aで表わす。この集合は、しばしば、Aの上のBの配置集合と呼ばれる。

分けわかんなくなりそうなんだけど、配置集合の一つ一つの要素は写像になっている。写像をRuby風の関数と考えるならば

[lambda_1{|A|..},lambda_2{|A|..},lambda_3{|A|..},]

のようなイメージ。写像を要素として持つ集合。AからBへの写像全部を集めてくる。

例を考えた。A = \{1,2\}B = \{1,2,3\}を考えたときの配置集合がどんなものかを考えてみる。f:A \rightarrow Bで、f(1)=1,f(2)=1を(1->1, 2->1)のように書くとすると、配置集合は{(1->1, 2->1), (1->1, 2->2), (1->1, 2->3), (1->2, 2->1), (1->2, 2->2), (1->2, 2->3), (1->3, 2->1), (1->3, 2->2), (1->3, 2->3)}のような感じになる。あー、確かに要素は写像になっているわー。これからも分かる通り、3^2=9個が配置集合の個数となる。

で、理論統計とかその辺でよく見かけるindicator functionというかそんなものが登場する。