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集合位相入門読書会第一回

XR 勉強会 集合論 集合位相入門

id:witchmakersと読むなどした。第一章の最初から、P20の(2.17)付近まで。来週は(2.17)の解読くらいからやるなどしたい。

空集合は任意の集合の部分集合

\phi \subset Aであるということ。

  • なんだか不思議な感じがするよねー
  • 集合だけじゃなくて、集合系(P18)についても成立するのかな

という付近について議論した。不思議な感じがするところは論理命題のところに秘密がかくされていたりした。p、qを命題として、pを偽とする。するとp'は真ということになって、qの真偽によらずq' \Rightarrow p'は真である(P10の(b)を(a)により導いた)。これを利用して、任意の集合Aに対して\phi \subset Aであることを示していた。

で、「集合だけじゃなくて、集合系(P18)についても成立するのかな」というところ(P18の最終段落)。空集合\phiは任意の集合系の部分集合であるか否か、という問題。集合系も集合であることを考えると成り立ちそうなんだけど、本当に?X=\{a,b,c\}とした時、\mathfrak{P}(X)=\{\phi,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\},\{a,b,c\}\}というのが考えられるが(べき集合(power set))、これの部分集合を考えたものが「部分集合系」ということになる。例えば\{\phi,\{a\},\{a,b\}\} \subset \mathfrak{P}(X)である。この時、\{\{a\},\{a,b\}\} \subset \mathfrak{P}(X)のようなものも部分集合系となるんだろうか?というような疑問。\phi \in \{\{a\},\{a,b\}\}ってならなくないか?とおいらが勝手に思ってしまっていた。が、差しているものが違うのだった。部分集合であるとを言っているだけで、要素であるとは言っていない。そういうわけで、\phi \subset \{\{a\},\{a,b\}\}というのは成立して、空集合は任意の集合の部分集合というのは集合系についても成立しそうだということが分かった。

集合系の和集合、共通部分

ちょい苦手っぽい部分だな、ここは。\cup^n_{i=1}A_iみたいなの*1は測度論の時に山のように出てきたんだけど、これではない。\cup \mathfrak{A} = \cup_{A \in \mathfrak{A}} Aというような感じのもの。集合系\mathfrak{A}の和集合とか言うらしい。が、これだけじゃ意味分からねー。と言ってたところにid:witchmakersが例を出してくれた。
\mathfrak{A} = \{\{2\}, \{2,3\}, \{2,4\}\}にたいして\cup \mathfrak{A} = \{2,3,4\}というようなのが集合系の和集合。なるほどー。共通部分は\cap \mathfrak{A} = \{2\}ですね。

で、これを厳密にやろうということで論理記号を持って集合系の和集合とかを定義してあったりした。\mathfrak{A} = \{x | \exist A \in \mathfrak{A}(x \in A)\}という感じ。共通集合については、分かりやすいからいいんだけど、和集合についてがちょっと分かりづらい。あと(2.17)から(2.18)'くらいまでが分かってない。なんだけど、眠くなってきたので後日復習。

*1:P13とかの