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の距離と位相

実解析 位相

距離空間とか位相を勉強するということになったんだけど、id:witchmakersと読む本で勉強することにする。

集合・位相入門

集合・位相入門

P137くらいから適当に読んでみる。

ええっと、最初の付近のところで、位相空間というのは一般的に開集合系を用いて定義する、と書いてあるんだけど、いきなりそれはあれだから、ユークリッド空間の位相についてまず考えるそうだ。

で、距離に関する定義がつらつらと書いてあって、いろんなところで見るシュワルツの不等式が登場する。

R^kの部分集合の内部(開核)、外部、境界

最初に長方形に対して、直感的な内部とか境界の説明がしてある。その後、厳密な定義(P140)が与えてあって、まず球体の概念について定義されている。

aをR^nの一つの点、\epsilonを1つの正の実数とするとき、集合\{x | x \in R^n,d(a,x) < \epsilon\}を、aを中心、[\epsilon]を半径とするR^nの球体と言うらしい。で、これ以降、球体をB(a;\epsilon)で表わすらしい。

MをR^nの一つの与えられた部分集合とする。R^nの点aに対して、適当に正数\epsilonをとればB(a;\epsilon) \subset Mが成立するときにaをMの内点と言うらしい。書きくださないとちょっと分からなくなってくる。Bってのはaとの距離が\epsilonより小さく、R^nの要素であるものの集合であるから、それがMの部分集合になっているということか。つまり、Mはaを中心とする球体を含んでいる(見方を変えれば、aに十分近いところの点はすべてMに属している)と言いなおすことができる。

で、Mの内部(開核)というのが説明してある。Mの内点全部の集合のことだそうだ。open kernelとも言うらしく、M^oとかM^iとかでも表現するらしい。

この内点の補集合としてMの外点というものが与えられている。aに十分近いところの点がすべてMに属していないとき(「どこかは属しているけど、どこかは属している」というのはなし)、aをMの外点(M^e)と言うらしい。