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第10講 可測集合族

実解析

単関数による可測関数の近似はちょっと深そうなので、しばらく寝かせて復習をするよ。

可測集合全体はボレル集合体をつくる

最初に次の定理が書かれている。

集合Xの上に外測度m^*が与えられているとする。このとき、m^*に関して可測な集合全体はボレル集合体をつくる。

で、議論を進めていくためのパーツがぼろぼろと落ちているので、その付近の補強から始めることにする。まず集合Xの上に外測度m^*が与えられているとする。その時にA \subset Xが可測となるのと以下のことは同値である(P65)。

すべてのE \subset Xに対しm^*(E) \geq m^*(E \cap A) + m^*(E \cap A^c)が成立する。

不等号ではなく、等号まで強めてよいというのがP64の定義にある。で、そんな可測集合全体を考えた時に、それがボレル集合体になると言っている。ボレル集合体の条件というのは3つあった。\mathcal{B}をボレル集合体とする。この時
(i)X,\phi \in \mathcal{B}
(ii)A,B \in \mathcal{B} \Rightarrow A \cup B,A \cap B, A \backslash B \in \mathcal{B}
(iii)A_n \in \mathcal{B}(n=1,2,\cdots) \Rightarrow \cap^{\infty}_{n=1} A_n \in \mathcal{B}

可測集合の測度

測度の完備性