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第18講 可測関数の積分

実解析

17講では、ルベーグ積分の基礎となる可測関数がどのように定義されているか、どのような性質を有しているかを見ていっていた。で、この講ではその可測関数の積分について考えていくらしい。

測度空間上の可測関数

「この講では、測度空間X(\mathcal{B},m)を一つに固定し、その上で考えることにする。」と書いてあるんだけど、測度空間ってなんだっけ?な感じになっている。。。測度空間についてはP77とかに書いてあるしい。測度空間の定義については次のようになっている。

集合X、Xの部分集合のつくるボレル集合体\mathcal{B}、および\mathcal{B}上の測度mが与えられた時、測度空間が与えられたと言う。そして、測度空間のことをX(\mathcal{B},m)のように表わす。

と書いてある。えっと、ボレル集合上での測度ってどういう感じのだっけ?となって遡ってもいいんだけど、ちょっと先に進みたいので復習は後回し。

で、補足的条件とか書いてあるけど、ふーんという感じで飛ばしてしまう(ぉ。

単関数とその積分

で、いきなり単関数というのが登場してくる。なんでいきなり登場してきたか、というところなんだけど

  • 簡単っぽい関数だから
  • 単関数は可測である性質を持っているから(あとで出てくる)

というのがあるからじゃないかと思う。で、単関数の定義とかを見ていくことにする。

まず、単関数を構成する特性関数と言うのを見ていく。特性関数というのは\varphi(x;A_i)というで表わされていて、x \in A_iの時に1を、そうでない時に0を返す関数ということらしい。これなんてinficator functin。で、単関数\varphi(x)というのは、\varphi(x)=\alpha_1 \varphi(x;A_1) + \alpha_2 \varphi(x;A_2) + \cdots + \alpha_n \varphi(x;A_n)というので定義されているらしい。\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nは実数。Xは有限個の可測集合A_1,A_2,\cdots,A_nによる分割で、共通点がなく、X=A_1 \cup A_2 \cup \cdots A_nという感じで表わされるらしいもの。

ということは単関数というのはXをn個の可測集合に分けておいて、その集合におけるindicator functionを考える。で、そのindicator functionの線形和で書かれているやつを単関数と言うらしい。ふーん。

で、単関数んは次のような性質があるらしい(P135)。

  1. 単関数は可測な関数である
  2. \varphi,\psiを単関数とし、\alpha,\betaを実数とする。このとき、以下のものもまた単関数となる
    • 単関数の線形和
    • 単関数の積
    • 単関数の絶対値
    • 単関数の最大値、最小値

数式が面倒になって、言葉で書いてしまったw。まあ、証明はとりあえずいいや。こういう性質がありますよーっと。

で、"単関数に対する積分"というのを以下のように定義するらしい。X上で積分を\int_X \varphi(x) m(dx) = \sum^n_{i=1}a_i m(A_i)で定義する。一般に可測な集合E上での積分を\int_E \varphi(x) m(dx) = \sum^n_{i=1}a_i m(A_i \cap E)と定義するらしい。ええっと、積分を和によって表わそうという考えか。和で定義したけど、うまくいくのか?と考えたが、それを今から見ていくのか。

X分割の分割の仕方も色々あるから、単関数の表わし方も一意じゃないんだけど、積分の値に関しては測度の有限加法性によって確定するらしい。

単関数の積分の性質

可測関数の積分

で、いよいよ可測関数の積分の定義に入る。

f(x)を可測関数として、f \leq 0とする。可測集合E上のfの積分を\int_E f(x)m(dx) = \sup \int_E \varphi(x)m(dx)によって定義する。ここで右辺の上限supは0 \leq \varphi(x) \leq f(x)を満たすすべての単関数をわたって得られるものとする。

あーえー、何を言っているかよく分からんなー。f(x)の積分は単関数の積分の上限によって定義されるっていうことか。

可測関数の単関数による近似

任意の可測関数f \geq 0は単関数の増加列によって近似できるという何やら怪しげな定理があるらしい。こういうの。

f(x)を可測関数とし、f \geq 0とする。この時単関数の増加列0 \leq \varphi_1(x) \leq \varphi_2(x) \leq  \cdots \varphi_n(x) \leq \cdotsが存在して、\lim_{n \rightarrow \infty}\varphi_n(x) = f(x)が成立する。

なんか強力すぎるあまり、頭に入ってこないなー。これは証明を読まないとだめかも分からん。

証明を読んだら、じわじわ分かってきた

何やら複雑なことが書いてあるような気がするんだけど、理解できるとそうでもなくなってくるから不思議。まず、A_k^{(n)}A^{(n)}という二つのxについての集合を考える。A_k^{(n)}というのは複雑っぽい感じなんだけど\frac{k}{2^n} \leq f(x) < \frac{k+1}{2^n}を満たすようなxを要素に持つ集合のこと*1。パラメータ(?)としてkとnを持っている。同様に、A^{(n)}f(x) \geq nを満たすようなxを要素として持つ集合のこと。Xを定義域と例えば考えると、Aをnで場合分けしているようなイメージになるのかな。ああ、まあ定義域と限定しないで集合っぽい感じなんだろうけど、まあイメージ。

で、fが可測な関数だから、A_k^{(n)}A^{(n)}も可測ということになる。どういうことかと言うと第17講 可測関数の「R^1の開集合と閉集合の逆像」の付近を見れば理解できるはず。可測関数があって、"値域"のほうがボレル集合だったら"定義域"のほうもボレル集合になる、ということが書いてある。ボレル集合は可測である開区間や閉区間を和や積を繰り返していっただけなので、もちろん可測である。ということで、今回の場合はA_k^{(n)}A^{(n)}は可測となる。

で、nを止めた時、A_k^{(n)}にはn2^n個の集合(0から始まる)、A^{(n)}は一つの集合となるので、合計としてn2^n+1個の集合となるんだけど、これらは共通点がなく、かつX=A_0^{(n)} \cup A_1^{(n)} \cup \cdots \cup A_{n2^n-1}^{(n)} \cup A^{(n)}となっている。subsetとかではなく、イコールになっているのに注意。Xをn2^n+1個の集合で分割したというところでね。

で、共通点がなく、Xが構成できるものがそろっているので、適当な0でない係数を持ってくると単関数\varphi_n(x) = \sum_{k=0}^{n2^n-1}\frac{k}{2^n} \varphi(x;A_k^{(n)}) + n \varphi(x;A^{(n)})と置くことができる。この関数はP138の図を見てみると分かるんだけど、系列\{\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,\cdots\}は単調増加性を満たしている、と書いてあるんだけど、本当かな?[あとで証明する]。この図は実解析と測度論の基礎 (数学レクチャーノート基礎編)のP62とかのほうが分かりやすいかもしれない。

で、単調増加性を満たしているとしておこう。かつf(x) < Nのとろでは|f(x) - \varphi_n(x)| < \frac{1}{2^n}(n \geq N)となるらしい。が、これも本当かよく分からない。絶対値になってるのは、差の面積っぽい匂いがしてくるな。ああ、違うな(ぉ。

f(x) < NとなるところではA^{(n)}のほうが全部(というか一個だけど)0になるんか。無視してよいと。

あ、分かった。\frac{k}{2^n} \leq f(x) < \frac{k+1}{2^n}なんだから、|f(x) - \varphi_n(x)|ってのは最大その区間の幅\frac{k+1}{2^n} - \frac{k}{2^n} = \frac{1}{2^n}で抑えられる。で、この本では\varphiとf(x)の大小関係について特に言ってない(言っている本もあった)ので絶対値の差となっている。

これでf(x) < Nのとろでは|f(x) - \varphi_n(x)| < \frac{1}{2^n}(n \geq N)のところが理解できた。で、f(x) = + \inftyとなるようなとこだと、A^{(n)}のほうが生き残って、\lim_{n \rightarrow \infty} \varphi_n(x) = + \inftyとなる。で、そんなこんなで最終的に\lim_{n \rightarrow \infty} \varphi_n(x) = f(x)とできる。

で!!以上より可測関数は単関数で近似できるということが証明できた!!わーい。

なんで可測関数だと近似できるのか

というところに疑問がくるわけなんだけど。たぶん、fが可測だから、A_k^{(n)}A^{(n)}も可測で、Xを分割できるっていうところにきいてくるんだろうなあと思う。

関数列ー収束と一様収束

ええっと、ここでは「さっきの収束の仕方は各点収束っていうやつで、一様収束っていうのもあるんだよ」くらいの理解でいいかな。ということで、クリティカルにはきいてこなさそうなので、適当に飛ばす。

と思ったら次の講で出てきた、ふわーん。。。

過去の記録

*1:なんか大学に入ったころはこういう表記が分からなかったけど、分かるようになった自分がちょっとうれしい