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第15講 リーマン積分

実解析

積分と面積

ジョルダンのような厳密な意味で面積概念を見直しても、f(x)が連続ならば、Sは必ず面積を持つことが示される。

リーマン積分

しかし、面積概念がジョルダンのように確定したならば、何も関数fが連続と仮定しなくとも、fのグラフの作る図形Sが面積確定のとき、fは定積分可能であるといってその面積の値をfの定積分として定義してよいわけである。

ん、連続の仮定がいらない?本当かよ?

リーマン積分可能であることの定義

f(x)は区間[a,b]で定義された関数であって、適当な整数Mを取ると0 \leq f(x) \leq Mを見たしているとする。この時、関数fのグラフの作る図形Sが(ジョルダンの意味で)面積確定の時、fはリーマン積分可能であるといい、Sの面積を\int^b_a f(x)dxと表わす。

この辺はなんとなく(おい)いいかなー。ああ、でも連続性が全く言ってないんだった。連続性のところが"ジョルダンの意味で面積確定"のところに吸収されちまってる気がするんだけど、どうなのか。見てみるか。

"ジョルダンの意味で面積確定"というのは外測度と内測度が一致することだった。で、区間を分割してsum取ってinfとsupを考えるといういつもの作業。で、区間を無限に小さくしていくとsumのinfとsupは近づいていくことが知られているらしい(ダルブーの定理)。で、これは|S|^*|S|_*が一致することである。

で、区間[a,b]で有界な関数f(x)に対しては、この条件が成立することをリーマン積分可能の条件としているらしい。有界が必要なところに注意だな。

リーマン積分可能な関数

定理が与えられている。

区間[a,b]で連続な関数は、リーマン積分可能である。より、一般に、区間[a,b]で有限個の不連続点を除いて連続な関数は、リーマン積分可能である。

リーマン積分可能である条件が大分分かりやすく挙げられてるな。で、有限個の不連続点を除いて連続な時には、不連続点を囲む、十分面積の小さい長方形を取ることができるので、そういう不連続点における面積の影響を極限においては0にできる→面積確定となり、リーマン積分可能となる。

で、実は"単調増加な関数の不連続点は高々可算個である"という事実があるらしく、それから単調増加な関数はリーマン積分可能である、という定理が示せるらしい。あれ、さっきの定理だと有限個の不連続点って言ってたのにな。加算無限まで勝手にレベルが上がってるぞ?が、先へ進むことにしておく。

追記

P116に「可算個の不連続点しかもたない有界な関数は、リーマン積分可能である」と書いてあった。。。@mrknさんにご迷惑をおかけしました。。。

リーマン積分可能な条件

上とかでもリーマン積分可能になる条件とかを書いていったわけだけど、第13講にあった、面積確定のための判定条件というのを用いれば、次のように書けるらしい。

関数f(x)が区間[a,b]でリーマン積分可能となる必要十分条件は、fのグラフのつくる図形Sに対してm(\bar{S}-S^o)=0が成り立つことである。

で、なんかその次のところに単調増加の話が出てくるわけだが、また可算個と言いながら、加算無限はどうなのか分からないような感じの説明がしてある。いらいら。

で、今までのリーマン積分可能となる必要十分条件が、次のような簡明な形で与えられるらしい。

区間[a,b]で有界な関数f(x)がリーマン積分可能となる必要十分条件はfの不連続点の集合が、測度0となることである。

んーっと、簡明な形で与えられて嬉しいのかもしれないけど、俺には「集合が測度0になる条件とかって何だっけ?」とかえって混乱をもたら(ry。

で、測度0の定義はP43に書いてあった。m^*(S)=0を満たす集合のことらしい。ルベーグ外測度が0になる集合ということか*1。じゃあ、ルベーグ外測度が0になる条件みたいなのを定義に当たる以外の方法ってないのかな。。。

と思ったらP43の下のほうに何か書いてあった。

零集合(測度が0の集合のこと)は常に可測であり、特に空集合は可測である。零集合であることと外測度の定義に戻って言い変えると、次のようになる。Sが零集合であるための必要十分条件は、任意の正数\epsilonに対して、可算個の長方形I_1,\cdots,I_n,\cdotsが存在して
(i)S \subset \cup^{\infty}_{n=1}I_n
(ii)\sum^{\infty}_{n=1} |I_n| < \epsilon

ふーむ。Sは可算個の長方形の和集合であって、その長方形の面積の和は[\epsilon]で抑えられるよ、っていう感じなのか。これを見れば

  • 集合の測度が0であるかどうかを(上のやつより)調べることができる
  • その方法で、不連続点の測度が0であるかを調べる
  • 不連続点の測度が0であったら、その関数はリーマン積分可能である

ということが分かる、ということかな。

過去の記録

*1:内測度は外測度より小さいので外測度が0なら内測度も0