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ファトゥーの補題

実解析

証明は本に載ってるので、補題を取り敢えず書いてみる。mは測度ね。

m(\cup^\infty_{n=1}A_n) < \inftyの時
m(\liminf_{n \to \infty} A_n) \leq \liminf_{n \to \infty} m(A_n) \leq \limsup_{n \to \infty} m(A_n) \leq m(\limsup_{n \to \infty}A_n)
が成立する。

極限と測度の操作の間の大小関係を表しているわけだな、ふむふむ。これは割りと直感的な感じだ。

集合列が収束する、とは

ちょっと準備。P82にあるんだけど、集合列\{A_n\}が収束するとは
\limsup_{n \to \infty}A_n = \liminf_{n \to \infty}A_n
が成立することである。この一致した値のことを\lim_{n \to \infty}A_nと書く。

で、これを使って

集合列\{A_n\}が収束する、すなわち\lim_{n \to \infty}A_nが存在するとき、ファトゥーの補題の両端が一致する。

ええっと、\limsup_{n \to \infty}A_n\liminf_{n \to \infty}A_nが一致するんだから、その測度を取ったm(\liminf_{n \to \infty} A_n)m(\limsup_{n \to \infty}A_n)も一致する、ということか。ワンステップおかないと分かんなかった。

で、両端が一致するので、(たぶんはさみうちを使って)、全ての等号が成立する。また、特に\liminf_{n \to \infty} m(A_n) = \limsup_{n \to \infty} m(A_n)が成立する。m(A_n)を集合列と見なせば、集合列の収束より、\lim_{n \to \infty}A_nが存在する、ということが分かる。以上のことをまとめると、次のようなことを言える(P83)。

m(\cup^\infty_{n=1}A_n) < \infty、かつ、\lim_{n \to \infty}A_nが存在すれば
m(\lim_{n \to \infty}A_n) = \lim_{n \to \infty} m(A_n)
が成立する。

おお、ある条件下では、極限を取ったものの測度と測度の極限が一致する、ということか。これはなかなかすごいことじゃないのか。これは美しい。

過去の記録