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集合列の上極限と下極限

実解析

ボレル集合体とかをちょっと離れて、道具の準備をすることにする。集合列の上極限と下極限とかいうのがいみふすぐるので、どうにかする。

上極限集合と下極限集合の定義

集合列A_1,\cdots,A_n,\cdotsが与えられた時
\limsup_{n\to\infty}A_n=\cap^\infty_{n=1}\cup^\infty_{k=n}A_k
\liminf_{n\to\infty}A_n=\cup^\infty_{n=1}\cap^\infty_{k=n}A_k
とおき、\limsup_{n\to\infty}A_nと上極限集合、\liminf_{n\to\infty}A_nを下極限集合という。

capとcupの順番とかそもそもどういうものなのかよく分からない。

ルベーグ積分30講 (数学30講シリーズ)のP81くらいに戻る。x \in \limsup_{n\to\infty}A_nというのは、どんなnを取っても常に
x \in \cup^\infty_{k=n}A_kが成立するというとである、と書いてある。え、意味が分からない。。。

で、色々探したけど、ときわ台学/ルベーグ積分/上極限集合と下極限集合の例が分かりやすかった。例えば
A_k = \{(x,y)|x^2 + y^2 \leq (1 - (-1)^k / k)^2 \}
のような集合列を考える。これは増えたり、減ったりしながら収束していく。こんな感じ。

で、上極限というのはこういうもの。\cup^\infty_{k=1}A_kとかは和集合だから、外側のやつなんだけど、kを増やしていって、かつ、積集合を取っていくと赤の円のところに収束していく。上から抑えに行っていて、上極限の名前にあっているような感じ。

で、下極限のほうはk \to \inftyの時までの積集合を考えていて、最初は一番小さい。で、あとはkを増やしていって和集合を取っていく。ということで、どんどん大きくなるんだけど、赤のところまでしか行けなくって、そこに収束する下極限のイメージにあってるな。

集合列についてもう少し考察してみる

P82の付近。あとで書く。

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