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第四講 ふつうの面積概念

実解析

内側から長方形でせめていったものと、外側から長方形でせめていったものがある内側から攻めていったものの、supをジョルダン内測度、外側から攻めていったののinfをジョルダン外測度と言う。これらが一致する時に、(ジョルダンの意味で)面積確定の図形であると言う。

あとから見ると適当にしか書いてないなというのが分かってくるわけだがw。内測度と外測度が一致する、だけだと他の意味での面積確定とかと区別が付かないので、区別が付くように書いておく。

ジョルダンの意味での長方形というのは

  • 有界な図形Sを完全に囲む長方形を考える
  • その長方形をx軸、y軸に関して分割してやる
  • で、そのできあがったタイルから見て、内側、外側というのを考えてやる
  • その区切った長方形の数は有限個

というのをやっている。あとの章のように長方形を重ねるとかそういう操作は考えていない。最初に長方形で囲んでおいて、その中を区間で区切ってというやりかたである。

こういうやり方をしてできた面積の内測度、外測度に対して|S|_*=|S|^*の時Sはジョルダンの意味で面積確定の図形である、と言う。この時、SをSの面積とかSのジョルダン測度と言ったりする。