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第三講 直線上の完全加法性の様相

実解析

ただのメモですよ。しかも、間違いだらけですよっと。

有理数の性質として

  • 有理数が稠密に分布している
  • 有理数は、数直線上、至るところ稠密に分布している

などが再掲(?)されていた。稠密というのは、数直線上の任意の点を取ったとき、その点のどんな近くにでも、有理数が存在しているよっていうこと。

有理数を囲む集合

有理数を囲む微小区間の集合をかきあつめてきて、それの加算無限個の和集合を取ったものの測度は0とかになっちゃうよ!!0-1区間での例が示してあったけど、有理数全体の集合の測度も0になってしまう。なんてこったい。

完全加法性\sum^\infty_{n=1}m(J_n)=m(I)を認めるならば、Jの測度は求められて、m(J)=\sum^\infty_{n=1}m(J_n)=2\epsilonとなる。しかし、この正数\epsilonはどんな小さくてもよいということになると測度は0であると結論付けられてしまう。

測度0の集合

長さの総和がいくらでも小さくなるような、高々可算個の区間列でおおえるとき、これを測度0という。

ちゃんとした定義

数直線上の集合Sが次の性質を持つとき、Sを測度0の集合と言う。

どんな小さい正数\epsilonを取っても、高々可算個の区間列I_1,\cdots,I_n,\cdotsを適当に選ぶと
(i)S \subset \cup^{\infty}_{n=1}I_n
(ii)\sum^{\infty}_{n=1}m(I_n) < \epsilon
とできる。測度0の集合をまた零集合とも言う。

繰り返されていく3等分

授業でやってたやつが出てきた。カントールのなんとかとか言うやつ。0-1区間で、3等分していくやつの真ん中を取るような操作をしていって、その操作からできるものの和集合を考える。その集合の測度は1になってしまうよという例。何が不思議なのかは、よく分からない。1になるんでないの?

カントル集合

上の3等分の補集合のとをカントル集合というらしい。で、このカントル集合はちょっとしかないように思えるんだけど、の集合の濃度は0-1区間に含まれる実数と同じ程度の濃度の点を含んでいる。びっくり!!

で、そんな濃度を持っていらっしゃるカントル集合さんなんですが、その測度はというと0になってしまう。直感的には本当っぽいけど、本当なのかな?ということで証明が与えてある。で、簡単な証明のあと、nを∞にすっとばすと測度が0になるということが分かる。なんということだ。

全然違うとは思うんだけど、連続型の確率密度関数である点を取る確率が0だから、例えば有理数を取る確率は0みたいなもんなのかなと思った。