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第二講 数直線上の長さ

実解析

ただのメモですよ。しかも、間違いだらけですよっと。

測度について

  • 測度はm(I)のような形で表わされる
  • 一点の測度は0
  • 測度は平行移動しても変わらない
    • 平行移動による不変性

有限加法性

切れ切れになった糸の長さを測って加えれば、つなぎ合わせた糸の長さになるよってこと。ちゃんとした定義はP10にある。

ちゃんとした定義

S_1,\cdots,S_nRの部分集合で次の性質を持つとする。
(i)i \neq jの時、S_iS_jには共通点がない。
(ii)各S_iは測度(長さ)を持つとする。この時、和集合S=S_1 \cup \cdots \cup S_nも測度を持ちm(S)=\sum^n_{k=1} m(S_k)となる。
うん、これだと「つなぎ合わせた」っていう意味が伝わってくるな。

名前の通りまだ有限個の話。

完全加法性

有限加法性を無限にversion upさせたのが完全加法性。
\sum^{\infty}_{n=1}m(J_n)=m(I)
となっているものを重ならないように、並びかえたものの測度も元のと一緒だよねーというようなやつ。