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第22講 可積分関数のつくる空間

ほとんど至るところ等しい「ほとんど至るところ等しい」という何やら怪しい言葉。almost everywhereの略。理論統計学とかの時にもちょっと出てきたりした。ほとんど至るところで成り立つ、とかそういう感じで。定義はこんな感じ。 測度空間上で定義された2つ…

の距離と位相

距離空間とか位相を勉強するということになったんだけど、id:witchmakersと読む本で勉強することにする。集合・位相入門作者: 松坂和夫出版社/メーカー: 岩波書店発売日: 1968/06/10メディア: 単行本購入: 12人 クリック: 62回この商品を含むブログ (56件) …

第23講 完備性

記号選択に対する1つの決断 の性質 完備性 の場合 リーマン積分からルベーグ積分へ 過去の記録 第二講 数直線上の長さ - yasuhisa's blog 第三講 直線上の完全加法性の様相 - yasuhisa's blog 第四講 ふつうの面積概念 - yasuhisa's blog 第五講 ルベーク外…

第21講 でのルベーグ積分

リーマン積分可能な関数 D上で有界な関数f(x)がリーマン積分可能ならば、ルベーグ積分可能か?また2つの積分の値は一致するか? というのがメイントピック。リーマン積分とルベーグ積分でのルベーグ積分ではなくて、でのルベーグ積分についての証明が与えられ…

第20講 積分の性質

積分の和 関数項の級数 共通点のない集合列上の積分 成りたっていて欲しいなあ、という性質が成りたってるよねという証明が書いてある。増加列の極限0以上の値をとる単調増加列があって、その極限がf(x)に収束するであるとするときにが成立する、というもの…

第19講 積分の基本定理

エゴロフの定理前の講で各点収束と一様収束があって、可測関数が単関数で近似できるっていうのは各点収束だよねーという話があった。そんでもって、一様収束のほうが強い。で、X上で一様収束していなくても、Xの部分集合Y上でなら一様収束しているよねという…

第10講 可測集合族

単関数による可測関数の近似はちょっと深そうなので、しばらく寝かせて復習をするよ。 可測集合全体はボレル集合体をつくる 最初に次の定理が書かれている。集合Xの上に外測度が与えられているとする。このとき、に関して可測な集合全体はボレル集合体をつく…

第17講 可測関数

連続関数から可測関数へ リーマン積分の基本にあったのは、"連続関数"という概念。連続関数の積分をどう定義して、どう求めるか、というところにリーマン積分の基本がある。一方で、ルベーグ積分は、可測関数に対する積分論であるらしい。なので、リーマン積…

第18講 可測関数の積分

17講では、ルベーグ積分の基礎となる可測関数がどのように定義されているか、どのような性質を有しているかを見ていっていた。で、この講ではその可測関数の積分について考えていくらしい。測度空間上の可測関数「この講では、測度空間を一つに固定し、その…

第6講 ルベーグ内測度

何か順番がごちゃごちゃしてきたけど、講の番号とか付けておけばどうにかなるかな。前の講の理解があまりのもあれすぎる。 内側から測る ルベーグ外測度が外から行ったので、内側からも行きたくなるんだけど、そう簡単に行かないんだよねという話。正方形に…

第16講 ルベーグ積分へ向けて

あとで。 過去の記録 第二講 数直線上の長さ - yasuhisa's blog 第三講 直線上の完全加法性の様相 - yasuhisa's blog 第四講 ふつうの面積概念 - yasuhisa's blog 第五講 ルベーク外測度 - yasuhisa's blog ルベーグ積分とはなんぞや - yasuhisa's blog ボレ…

第15講 リーマン積分

積分と面積 ジョルダンのような厳密な意味で面積概念を見直しても、f(x)が連続ならば、Sは必ず面積を持つことが示される。 リーマン積分 しかし、面積概念がジョルダンのように確定したならば、何も関数fが連続と仮定しなくとも、fのグラフの作る図形Sが面積…

第14講 測度論の光と影

何か今度はルベーグ積分を使うことによって生まれてしまった面倒くさい部分についての説明があるらしい。 開集合、連続関数、測度 古典的な面積概念-ジョルダン測度-に限るだけでは、数学的に十分ではなく、取り扱いにくいという点が色々あったが、その一つ…

第13講 可測集合の周辺

久し振りにルベーグ積分を勉強する。二つの可測性の一致ルベーグ測度について、話が滑らかに進んだのは、可測性の定義にカラテオドリのものを採用したから。カラテオドリの定義を採用したことにより、数学的な設定としてはよくなったが、面接という図形に密…

いろいろ(先生に質問したところとか)

とりあえず書きなぐる。 ボレル集合体と命題1.6のところ P17のgがどういうものかよく分かっていなかった。正確に言えば、分かったつもりになっていた。gは例えばこういうもの。 または、こういうもの。 こういうものではない、ということに注意。どのレベル…

ファトゥーの補題

証明は本に載ってるので、補題を取り敢えず書いてみる。mは測度ね。 の時 が成立する。 極限と測度の操作の間の大小関係を表しているわけだな、ふむふむ。これは割りと直感的な感じだ。集合列が収束する、とはちょっと準備。P82にあるんだけど、集合列が収束…

積分の2歩手前くらい(上極限集合と下極限集合の続き)

ここの続き。集合列についてもう少し書く、と書いていた。集合列の極限について色々見ていくと、こういう記述がある。 上極限集合とは『無限に多くのに含まれる点の集まり』 下極限集合とは『有限以外は全てに含まれる点の集まり』 何を言っているか分からな…

集合列の上極限と下極限

ボレル集合体とかをちょっと離れて、道具の準備をすることにする。集合列の上極限と下極限とかいうのがいみふすぐるので、どうにかする。上極限集合と下極限集合の定義 集合列が与えられた時 とおき、と上極限集合、を下極限集合という。 capとcupの順番とか…

ボレル集合体に対してもうちょい深める

昨日の続きね。ボレル集合体についてもうちょい追求しとかないと、ルベーグ測度とかがちゃんと定義できない自体になってしまうから。まず、P17の命題1.6を思い出すところから行こう。命題1.6「gより生成されるσ-集合体」 gをXのある部分集合族とする。そのと…

ボレル集合体とはなんぞや

自分用のメモなので気にしないでください>リーマン積分可能、ということはあんまり広くないらしいリーマン積分可能のであるための必要十分条件は、上積分と下積分が一致すること。これは大体よさそうな気がするんだけど、思っている以上にこれは条件がきつい…

第五講 ルベーク外測度

前の講では有限個の長方形で近似しているので、荒らいんじゃね?ということでもっとどうにかしようぜ、という流れ。というわけで、有限個から可算個にレベルを上げてやる。で、可算個に上げるだけでなく、長方形のほうにも工夫をする。ジョルダンの時には長方…

第四講 ふつうの面積概念

内側から長方形でせめていったものと、外側から長方形でせめていったものがある内側から攻めていったものの、supをジョルダン内測度、外側から攻めていったののinfをジョルダン外測度と言う。これらが一致する時に、(ジョルダンの意味で)面積確定の図形であ…

第三講 直線上の完全加法性の様相

ただのメモですよ。しかも、間違いだらけですよっと。有理数の性質として 有理数が稠密に分布している 有理数は、数直線上、至るところ稠密に分布している などが再掲(?)されていた。稠密というのは、数直線上の任意の点を取ったとき、その点のどんな近くに…

第二講 数直線上の長さ

ただのメモですよ。しかも、間違いだらけですよっと。測度について 測度はm(I)のような形で表わされる 一点の測度は0 測度は平行移動しても変わらない 平行移動による不変性 有限加法性切れ切れになった糸の長さを測って加えれば、つなぎ合わせた糸の長さに…

ルベーグ積分とはなんぞや

授業95%が分からないという危機的状況な実解析なわけですが、それでも今日はこれだけ理解するなどした。なお、嘘がまぎれこんでいる可能性は非常に高いと思う。 リーマン積分だとだめぽな場合があるからルベーグ積分が出てきたっぽい 連続な関数ならたいてい…